Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(d)
e
(d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear que envolvem vértices, vetores e subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
precisa cumprir três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado para adição de vetores.
- É fechado para multiplicação por escalar.
A gente vai verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em Q:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz as condições de Q:
-
⇒ ✅ -
⇒ ✅
Como o vetor zero satisfaz todas as condições,
contém o vetor zero.
Passo 4
2. Verificar se Q é fechado para adição de vetores:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em Q:
-
com e -
com e
Vamos somar
.
Agora, verificamos se as condições de Q são satisfeitas:
-
e ⇒ -
Ambas as condições são satisfeitas, então
é fechado para adição.
Passo 5
3. Verificar se Q é fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em Q:
com
e
, e um escalar
.
Multiplicando o vetor por
:
.
Agora, verificamos:
-
e ⇒ -
Ambas as condições continuam verdadeiras após a multiplicação, então
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de
.