Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(d) e
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear que envolvem vértices, vetores e subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa cumprir três condições:
Contém o vetor zero.
É fechado para adição de vetores.
É fechado para multiplicação por escalar.
A gente vai verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em Q:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de Q:
⇒ ✅
⇒ ✅
Como o vetor zero satisfaz todas as condições, contém o vetor zero.
Passo 4
2. Verificar se Q é fechado para adição de vetores:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em Q:
com e
com e
Vamos somar .
Agora, verificamos se as condições de Q são satisfeitas:
e ⇒
Ambas as condições são satisfeitas, então é fechado para adição.
Passo 5
3. Verificar se Q é fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em Q: com e , e um escalar .
Multiplicando o vetor por : .
Agora, verificamos:
e ⇒
Ambas as condições continuam verdadeiras após a multiplicação, então é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de .