Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(d) e

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear que envolvem vértices, vetores e subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa cumprir três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição de vetores.
  3. É fechado para multiplicação por escalar.
A gente vai verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em Q:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de Q:
Como o vetor zero satisfaz todas as condições, contém o vetor zero.

Passo 4

2. Verificar se Q é fechado para adição de vetores:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em Q:
  • com e
  • com e
Vamos somar .
Agora, verificamos se as condições de Q são satisfeitas:
  • e
Ambas as condições são satisfeitas, então é fechado para adição.

Passo 5

3. Verificar se Q é fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em Q: com e , e um escalar .
Multiplicando o vetor por : .
Agora, verificamos:
  • e
Ambas as condições continuam verdadeiras após a multiplicação, então é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de .

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(b) .
Seja . Para qualquer, ponhamos . Prove que para todo é um subespaço vetorial de E .
Considere
Calcule o polinômio característico de .
Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.