Considere
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 0 0 & 1 & 3 )
Encoutre os autovalores de A. Para cada autovalor, encontre os autovetores correspondentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma matriz e pediu para encontrar os autovalores e, para cada autovalor, os autovetores correspondentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz para achar os autovalores e depois resolver o sistema para encontrar os autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade de mesma ordem que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 2 0 & 1 - lambda & 0 0 & 1 & 3 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 1 - lambda & 0 1 & 3 - lambda - 0 + 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det 1 - lambda & 0 1 & 3 - lambda = (1 - lambda)(3 - lambda) - 0 cdot 1 = (1 - lambda)(3 - lambda)
Calculando o determinante da matriz menor:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)^2 (3 - lambda) = 0
Então, temos:

Passo 4

Agora, igualamos cada fator a zero para encontrar os autovalores:
  1. (com multiplicidade 2)
Portanto, os autovalores são e .

Passo 5

Vamos agora encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 :
Substituímos 0x + y + 2z = 0 0x + 0y + 0z = 0 0x + y + 2z = 0 na matriz x = t y = -2z z = z :
1 0 0 e 0 -2 1
Montamos o sistema A - 3I = -2 & 1 & 2 0 & -2 & 0 0 & 1 & 0 :
-2x + y + 2z = 0 -2y = 0 y = 0
Da primeira e terceira equação: -2x + 0 + 2z = 0 Rightarrow -2x + 2z = 0 Rightarrow x = z 1 0 1 . A variável é livre. Então, podemos expressar os autovetores como:
Onde e são parâmetros livres. Assim, os autovetores são combinações lineares de:
Para :
Substituímos na matriz :
Montamos o sistema :
Da segunda equação: . Substituindo na primeira equação:
A variável é livre. Portanto, os autovetores são múltiplos de:

Resposta

Os autovalores de 1 0 0 são 0 -2 1 e 1 0 1.
  • Para , os autovetores são combinações lineares de e .
  • Para , os autovetores são múltiplos de .

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