Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. A funçāo definida por é uma transformaçāo linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente decidir se a função definida por é uma transformação linear. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades que uma transformação linear deve cumprir. Precisamos verificar se essa função satisfaz as duas principais propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Vamos testar a aditividade. Seja e . Então:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
Vemos que , então a aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e . Então:
E:
Comparando os dois resultados:
Portanto, , então a homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é uma transformação linear, pois satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.

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Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. A funçāo definida por é uma transformaçāo linear.
Considere
Encoutre os autovalores de A. Para cada autovalor, encontre os autovetores correspondentes.
Seja uma transformaçāo linear dada por . Encontre uma base e a dimensāo para a imagem de .
Seja a transformaçāo linear definida na base por e . Determine