Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. A funçāo T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(x+2 y, y) é uma transformaçāo linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente decidir se a função definida por é uma transformação linear. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades que uma transformação linear deve cumprir. Precisamos verificar se essa função satisfaz as duas principais propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Vamos testar a aditividade. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2), y1 + y2) e T(u) + T(v) = (x1 + 2y1, y1) + (x2 + 2y2, y2) = (x1 + 2y1 + x2 + 2y2, y1 + y2) . Então:
(x1 + x2 + 2y1 + 2y2, y1 + y2) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, y1 + y2)
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
Vemos que , então a aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(cu) = T(cx, cy) = (cx + 2cy, cy) um escalar e cT(u) = c(x + 2y, y) = (c(x + 2y), cy) = (cx + 2cy, cy) . Então:
(cx + 2cy, cy) = (cx + 2cy, cy)
E:
Comparando os dois resultados:
Portanto, , então a homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é uma transformação linear, pois satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.

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