Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. A funçāo definida por é uma transformaçāo linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente decidir se a função definida por é uma transformação linear. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades que uma transformação linear deve cumprir. Precisamos verificar se essa função satisfaz as duas principais propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.
Passo 3
Vamos testar a aditividade. Seja e . Então:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
Vemos que , então a aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e . Então:
E:
Comparando os dois resultados:
Portanto, , então a homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Sim, a função é uma transformação linear, pois satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.