Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. A funçāo
definida por
é uma transformaçāo linear.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação de que a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade usando dois vetores quaisquer em
. Seja
e
.
Calculando
:
Simplificando:
Calculando
:
Passo 4
Comparando as duas expressões:
Observamos que
é igual em ambos os casos, mas
nem sempre é igual a
. Por exemplo, se
e
:
Como
, a primeira propriedade não é satisfeita.
Passo 5
Como a primeira propriedade de linearidade não é satisfeita, não é necessário verificar a segunda propriedade. Portanto, a função
não é uma transformação linear.
Resposta
FALSA. A função
não é uma transformação linear.