Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. A funçāo T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(|x|, y+z) é uma transformaçāo linear.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação de que a função definida por é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e verificar se satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade usando dois vetores quaisquer em T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (|x1 + x2|, (y1 + y2) + (z1 + z2)) . Seja (|x1 + x2|, y1 + y2 + z1 + z2) e T(u) + T(v) = (|x1|, y1 + z1) + (|x2|, y2 + z2) = (|x1| + |x2|, y1 + z1 + y2 + z2) .
Calculando :
Simplificando:
Calculando :

Passo 4

Comparando as duas expressões:
(|x1 + x2|, y1 + y2 + z1 + z2) vs (|x1| + |x2|, y1 + z1 + y2 + z2)
Observamos que |1 + (-1)| = |0| = 0 e |1| + |-1| = 1 + 1 = 2 é igual em ambos os casos, mas nem sempre é igual a . Por exemplo, se e :
Como , a primeira propriedade não é satisfeita.

Passo 5

Como a primeira propriedade de linearidade não é satisfeita, não é necessário verificar a segunda propriedade. Portanto, a função não é uma transformação linear.

Resposta

FALSA. A função não é uma transformação linear.

Exercícios relacionados