Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. A funçāo definida por é uma transformaçāo linear.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação de que a função definida por é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e verificar se satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
Adição:
Multiplicação por escalar:
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade usando dois vetores quaisquer em . Seja e .
Calculando :
Simplificando:
Calculando :
Passo 4
Comparando as duas expressões:
Observamos que é igual em ambos os casos, mas nem sempre é igual a . Por exemplo, se e :
Como , a primeira propriedade não é satisfeita.
Passo 5
Como a primeira propriedade de linearidade não é satisfeita, não é necessário verificar a segunda propriedade. Portanto, a função não é uma transformação linear.