Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. A funçāo definida por é uma transformaçāo linear.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação de que a função definida por é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e verificar se satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade usando dois vetores quaisquer em . Seja e .
Calculando :
Simplificando:
Calculando :

Passo 4

Comparando as duas expressões:
Observamos que é igual em ambos os casos, mas nem sempre é igual a . Por exemplo, se e :
Como , a primeira propriedade não é satisfeita.

Passo 5

Como a primeira propriedade de linearidade não é satisfeita, não é necessário verificar a segunda propriedade. Portanto, a função não é uma transformação linear.

Resposta

FALSA. A função não é uma transformação linear.

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