Sabendo que o ponto P(9,4) é um dos vértices do quadrado inscrito em uma circunferência de centro C(6,0), determine a equação reduzida dessa circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um ponto (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 que é um vértice de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro em . Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa circunferência. Para resolver isso, vamos precisar saber que a equação de uma circunferência no plano cartesiano é dada por:
onde são as coordenadas do centro e é o raio.

Passo 2

Primeiro, identificamos o centro da circunferência, que já foi dado na questão: . Portanto, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o raio da circunferência. Como o ponto está na circunferência, a distância entre e é igual ao raio.

Passo 4

Vamos calcular essa distância usando a fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e :
Aqui, e .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
r = raiz(9 - 6)^2 + (4 - 0)^2 = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, o raio é igual a 5.

Passo 6

Agora que temos o centro (x - 6)^2 + (y - 0)^2 = 5^2 e o raio (x - 6)^2 + y^2 = 25 , podemos substituir esses valores na equação geral da circunferência:
Simplificando:

Resposta

A equação reduzida da circunferência é:
(x - 6)^2 + y^2 = 25

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