Considere
o espaço vetorial das matrizes reais
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o espaço vetorial das matrizes reais
, que é representado por
, tem dimensão igual a 6. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço vetorial e dimensão, e ver como contar a quantidade de elementos que definem uma matriz desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz em
. Ela é uma tabela com 2 linhas e 3 colunas, onde cada posição pode ter qualquer número real. Por exemplo:
Aqui, temos 6 entradas:
e
.
Passo 3
A dimensão de um espaço vetorial é basicamente o número de vetores na sua base, ou seja, o número mínimo de vetores que a gente precisa para gerar qualquer elemento do espaço. Para
, queremos ver quantas matrizes básicas precisamos para combinar e formar qualquer matriz
.
Passo 4
Vamos construir uma base para
. Cada matriz básica terá 1 na posição de uma entrada e 0 nas outras. Assim, temos:
São 6 matrizes diferentes, cada uma representando uma posição única na matriz
.
Passo 5
Como cada uma dessas 6 matrizes básicas é linearmente independente (não dá para formar uma delas combinando as outras) e qualquer matriz
pode ser escrita como uma combinação dessas 6, isso significa que a base de
tem 6 elementos.
Resposta
Portanto,
.