Considere M2 times 3(R) o espaço vetorial das matrizes reais 2 times 3. Mostre que dim(M2 times 3(R))=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o espaço vetorial das matrizes reais , que é representado por , tem dimensão igual a 6. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço vetorial e dimensão, e ver como contar a quantidade de elementos que definem uma matriz desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz em a & b & c d & e & f . Ela é uma tabela com 2 linhas e 3 colunas, onde cada posição pode ter qualquer número real. Por exemplo:
Aqui, temos 6 entradas: e .

Passo 3

A dimensão de um espaço vetorial é basicamente o número de vetores na sua base, ou seja, o número mínimo de vetores que a gente precisa para gerar qualquer elemento do espaço. Para , queremos ver quantas matrizes básicas precisamos para combinar e formar qualquer matriz .

Passo 4

Vamos construir uma base para E11 = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E12 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , E13 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 , . Cada matriz básica terá 1 na posição de uma entrada e 0 nas outras. Assim, temos:
E21 = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 , E22 = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 , E23 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1
São 6 matrizes diferentes, cada uma representando uma posição única na matriz .

Passo 5

Como cada uma dessas 6 matrizes básicas é linearmente independente (não dá para formar uma delas combinando as outras) e qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação dessas 6, isso significa que a base de tem 6 elementos.

Resposta

Portanto, .

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