(Ponto extra) Mostre que (A B+B A)^t=B^t A^t+A^t B^t usando as propriedades da operação de transposição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a transposta de é igual a . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente usando as propriedades da transposição de matrizes. Para resolver, vamos precisar lembrar como a transposta funciona, especialmente com adição e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das transpostas. Ou seja, (A B + B A)^t = (A B)^t + (B A)^t . Então, aplicando isso à nossa expressão , temos:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar como a transposta funciona com a multiplicação de matrizes. A regra é que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja, (A B)^t = B^t A^t . Aplicando isso às duas partes da nossa expressão:
(B A)^t = A^t B^t

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão que tínhamos no Passo 2:
(A B + B A)^t = B^t A^t + A^t B^t

Resposta

Portanto, mostramos que .

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