No espaço dos polinômios reais, determine se os vetores abaixo são linearmente dependentes
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três polinômios no espaço dos polinômios reais: , e . A pergunta é: esses vetores são linearmente dependentes? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como aplicar isso aos polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é dependência linear. Vetores são linearmente dependentes se uma combinação linear deles resulta no vetor zero, ou seja, se existe algum conjunto de escalares (não todos zero) tal que:
No nosso caso, queremos ver se podemos encontrar diferentes de zero que satisfaçam essa equação para os polinômios dados.
Passo 3
Vamos escrever os polinômios de forma explícita:
Queremos encontrar tais que:
Passo 4
Vamos expandir essa combinação linear:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para essa equação ser válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar métodos como substituição ou eliminação. Vamos começar resolvendo a primeira equação para a = -b - 3c :