No espaço P(R) dos polinômios reais, determine se os vetores u, v, w abaixo são linearmente dependentes
u=t^3+4 t^2-2 t+3 ; v=t^3+6 t^2-t+4 ; w=3 t^3+8 t^2-8 t+7

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três polinômios no espaço dos polinômios reais: , e . A pergunta é: esses vetores são linearmente dependentes? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como aplicar isso aos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é dependência linear. Vetores são linearmente dependentes se uma combinação linear deles resulta no vetor zero, ou seja, se existe algum conjunto de escalares au + bv + cw = 0 (não todos zero) tal que:
No nosso caso, queremos ver se podemos encontrar diferentes de zero que satisfaçam essa equação para os polinômios dados.

Passo 3

Vamos escrever os polinômios u = t^3 + 4 t^2 - 2 t + 3 de forma explícita:
v = t^3 + 6 t^2 - t + 4
w = 3 t^3 + 8 t^2 - 8 t + 7
a(t^3 + 4 t^2 - 2 t + 3) + b(t^3 + 6 t^2 - t + 4) + c(3 t^3 + 8 t^2 - 8 t + 7) = 0
Queremos encontrar tais que:

Passo 4

Vamos expandir essa combinação linear:
a t^3 + 4a t^2 - 2a t + 3a + b t^3 + 6b t^2 - b t + 4b + 3c t^3 + 8c t^2 - 8c t + 7c = 0
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(a + b + 3c) t^3 + (4a + 6b + 8c) t^2 + (-2a - b - 8c) t + (3a + 4b + 7c) = 0
Para essa equação ser válida para todo a + b + 3c = 0 4a + 6b + 8c = 0 -2a - b - 8c = 0 3a + 4b + 7c = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar métodos como substituição ou eliminação. Vamos começar resolvendo a primeira equação para a = -b - 3c :
4(-b - 3c) + 6b + 8c = 0 -4b - 12c + 6b + 8c = 0 2b - 4c = 0 b = 2c
Agora, substituímos -2(-b - 3c) - b - 8c = 0 2b + 6c - b - 8c = 0 b - 2c = 0 b = 2c nas outras equações:
  1. Na segunda equação:
3(-b - 3c) + 4b + 7c = 0 -3b - 9c + 4b + 7c = 0 b - 2c = 0 b = 2c
  1. Na terceira equação:
a = -b - 3c = -2c - 3c = -5c
  1. Na quarta equação:
a = -5c b = 2c c = c
Observamos que todas as equações apontam para . Agora, substituindo de volta para :
Então, em termos de , temos:
Isso significa que existe uma solução não trivial para o sistema (por exemplo, ), o que confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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