No espaço M2 times 2(R) das matrizes 2 times 2 reais, determine se os vetores abaixo são linearmente dependentes
[ll1 & 2 3 & 1],[cc3 & -1 2 & 2],[cc1 & -5 -4 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se três matrizes 2x2 são vetores linearmente dependentes no espaço das matrizes 2x2 com entradas reais. Basicamente, vamos ver se uma das matrizes pode ser escrita como combinação linear das outras. Para isso, vamos precisar entender o que é dependência linear e como configurar uma equação para testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que matrizes 2x2 podem ser tratadas como vetores em um espaço de 4 dimensões. Então, cada matriz vai se transformar em um vetor de quatro elementos. Vamos converter cada uma das matrizes dadas:
  • Matriz A:
    1 & 2 3 & 1
    Vira o vetor 3 & -1 2 & 2
  • Matriz B:
    1 & -5 -4 & 0
    Vira o vetor
  • Matriz C:
    Vira o vetor

Passo 3

Agora que temos os vetores, queremos saber se existe uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que satisfaça:
c1 A + c2 B + c3 C = 0
Isso significa que:
c1 (1, 2, 3, 1) + c2 (3, -1, 2, 2) + c3 (1, -5, -4, 0) = (0, 0, 0, 0)
Vamos montar um sistema de equações com base nisso.

Passo 4

Desenvolvendo as equações:
  1. (primeira componente)
  2. (segunda componente)
  3. (terceira componente)
  4. (quarta componente)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos começar pela quarta equação, que é mais simples:
c1 + 2c2 = 0 implies c1 = -2c2
Agora, substituímos nas outras equações:

Passo 6

Observamos que todas as equações se satisfazem com e , onde pode ser qualquer valor real diferente de zero. Isso significa que existe uma combinação não trivial das matrizes que resulta na matriz zero.

Resposta

As vetores são linearmente dependentes.

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