Considere com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre e .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos duas matrizes, e , que são matrizes (ou seja, têm 2 linhas e 2 colunas). A gente precisa descobrir o cosseno do ângulo entre essas duas matrizes usando um tipo de “produto interno” que foi mostrado no Exemplo 6 da Seção 6.1. Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto interno e as normas das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores (ou matrizes, nesse caso) usando o produto interno. A fórmula é:
Aqui, representa o produto interno entre as matrizes e , e e são as normas de e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno . No espaço das matrizes , o produto interno geralmente é calculado somando o produto dos elementos correspondentes das duas matrizes. Ou seja:
Onde e s��o os elementos das matrizes e , respectivamente.

Passo 4

Vamos aplicar isso às matrizes que a gente tem:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular as normas das matrizes e . A norma de uma matriz é a raiz quadrada do produto interno dela com ela mesma:
Vamos calcular :

Passo 6

Agora, calculamos da mesma forma:

Passo 7

Com o produto interno e as normas calculados, agora podemos encontrar o cosseno do ângulo:
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:

Resposta

O cosseno do ângulo entre as matrizes e é aproximadamente 0,718.

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Dados os vetores decida se existe ou não uma transformação linear
Suponha que tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre .
(b)
Considere com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre e .
(b)
Considere as seguintes retas:
Estude a posição relativa entre e .