Considere
com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre
e
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos duas matrizes,
e
, que são matrizes
(ou seja, têm 2 linhas e 2 colunas). A gente precisa descobrir o cosseno do ângulo entre essas duas matrizes usando um tipo de “produto interno” que foi mostrado no Exemplo 6 da Seção 6.1. Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto interno e as normas das matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores (ou matrizes, nesse caso) usando o produto interno. A fórmula é:
Aqui,
representa o produto interno entre as matrizes
e
, e
e
são as normas de
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno
. No espaço das matrizes
, o produto interno geralmente é calculado somando o produto dos elementos correspondentes das duas matrizes. Ou seja:
Onde
e
s��o os elementos das matrizes
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos aplicar isso às matrizes que a gente tem:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular as normas das matrizes
e
. A norma de uma matriz é a raiz quadrada do produto interno dela com ela mesma:
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora, calculamos
da mesma forma:
Passo 7
Com o produto interno e as normas calculados, agora podemos encontrar o cosseno do ângulo:
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
Resposta
O cosseno do ângulo entre as matrizes
e
é aproximadamente 0,718.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
decida se existe ou não uma transformação linear
Suponha que
tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre
.
(b)
(b)
Considere
com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre
e
.
(b)
(b)
Considere as seguintes retas:
Estude a posição relativa entre
e
.