Considere M22 com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre A e B.
(a) A=[rr2 & 6 1 & -3], B=[ll3 & 2 1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos duas matrizes, e , que são matrizes (ou seja, têm 2 linhas e 2 colunas). A gente precisa descobrir o cosseno do ângulo entre essas duas matrizes usando um tipo de “produto interno” que foi mostrado no Exemplo 6 da Seção 6.1. Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto interno e as normas das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores (ou matrizes, nesse caso) usando o produto interno. A fórmula é:
cos(theta) = lang<= A, B rang<=|A| cdot |B|
Aqui, representa o produto interno entre as matrizes e , e e são as normas de e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno lang<= A, B rang<= = a11b11 + a12b12 + a21b21 + a22b22 . No espaço das matrizes , o produto interno geralmente é calculado somando o produto dos elementos correspondentes das duas matrizes. Ou seja:
Onde e s��o os elementos das matrizes e , respectivamente.

Passo 4

Vamos aplicar isso às matrizes que a gente tem:
A = 2 & 6 1 & -3 , B = 3 & 2 1 & 0
Então,
lang<= A, B rang<= = (2 times 3) + (6 times 2) + (1 times 1) + (-3 times 0) = 6 + 12 + 1 + 0 = 19

Passo 5

Agora, vamos calcular as normas das matrizes |A| = raizlang<= A, A rang<= = raiza11^2 + a12^2 + a21^2 + a22^2 e |A| = raiz2^2 + 6^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz4 + 36 + 1 + 9 = raiz50 = 5raiz2 . A norma de uma matriz é a raiz quadrada do produto interno dela com ela mesma:
Vamos calcular :

Passo 6

Agora, calculamos |B| = raiz3^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 = raiz9 + 4 + 1 + 0 = raiz14 da mesma forma:

Passo 7

Com o produto interno e as normas calculados, agora podemos encontrar o cosseno do ângulo:
cos(theta) = 195raiz2 times raiz14 = 195 times raiz28 = 195 times 2raiz7 = 1910raiz7
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
cos(theta) = 1910raiz7 times raiz7raiz7 = 19raiz770 approx 0.718

Resposta

O cosseno do ângulo entre as matrizes e é aproximadamente 0,718.

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