Considere M22 com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre A e B.
(b) A=[rr2 & 4 -1 & 3], B=[rr-3 & 1 4 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de ângulo entre matrizes no espaço . O que a gente precisa é encontrar o cosseno do ângulo entre as matrizes e . Para isso, vamos usar o conceito de produto interno e normas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é o produto interno que estamos usando. No espaço lang<= A, B rang<= = tr(A^T B) = sumi=1^2 sumj=1^2 aij bij , o produto interno padrão é chamado de produto interno de Frobenius, que basicamente multiplica os elementos correspondentes das matrizes e soma tudo. Matematicamente, é definido como:
Isso significa que a gente pega cada elemento de e multiplica pelo elemento correspondente de e depois soma tudo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno A = 2 & 4 -1 & 3 , B = -3 & 1 4 & 2 . Dadas as matrizes:
lang<= A, B rang<= = (2)(-3) + (4)(1) + (-1)(4) + (3)(2) = -6 + 4 - 4 + 6 = 0
Vamos multiplicar elemento a elemento e somar:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as normas de | A | = raizlang<= A, A rang<= = raiz2^2 + 4^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 16 + 1 + 9 = raiz30 e | B | = raizlang<= B, B rang<= = raiz(-3)^2 + 1^2 + 4^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 16 + 4 = raiz30 , que são basicamente a “tamanho” das matrizes. A norma de Frobenius é dada por:
E para :

Passo 5

Com o produto interno e as normas calculadas, podemos encontrar o cosseno do ângulo entre cos(theta) = lang<= A, B rang<=| A | | B | = 0raiz30 times raiz30 = 030 = 0 e usando a fórmula:

Resposta

O cosseno do ângulo entre e é .

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