Considere
com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre
e
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de ângulo entre matrizes no espaço
. O que a gente precisa é encontrar o cosseno do ângulo entre as matrizes
e
. Para isso, vamos usar o conceito de produto interno e normas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é o produto interno que estamos usando. No espaço
, o produto interno padrão é chamado de produto interno de Frobenius, que basicamente multiplica os elementos correspondentes das matrizes e soma tudo. Matematicamente, é definido como:
Isso significa que a gente pega cada elemento de
e multiplica pelo elemento correspondente de
e depois soma tudo.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno
. Dadas as matrizes:
Vamos multiplicar elemento a elemento e somar:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as normas de
e
, que são basicamente a “tamanho” das matrizes. A norma de Frobenius é dada por:
E para
:
Passo 5
Com o produto interno e as normas calculadas, podemos encontrar o cosseno do ângulo entre
e
usando a fórmula:
Resposta
O cosseno do ângulo entre
e
é
.