Dados os vetores
decida se existe ou não uma transformação linear
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. Temos três pares de vetores em
:
-
mapeado para -
mapeado para -
mapeado para
Queremos saber se existe uma transformação linear
que satisfaça
para
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Uma transformação linear
em
pode ser representada por uma matriz
de ordem
:
Onde os coeficientes
,
,
e
são reais que definem a transformação. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes de forma que
para cada vetor dado.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações usando as relações
. Para cada vetor
e
, temos:
Aplicando isso para cada par de vetores:
- Para
e :
- Para
e :
- Para
e :
Passo 4
Vamos resolver o sistema das primeiras duas equações para encontrar
e
:
Somando as equações (1) e (2):
Substituindo
na equação (2):
Passo 5
Agora, vamos resolver para
e
usando as próximas duas equações:
Somando as equações (3) e (4):
Substituindo
na equação (4):
Passo 6
Com os valores encontrados
,
,
e
, a matriz da transformação
fica:
Agora, precisamos verificar se as últimas duas equações são satisfeitas com esses valores.
Para
:
Resposta
Sim, existe uma transformação linear
que satisfaz
para
. A transformação é representada pela matriz:
Exercícios relacionados
Suponha que
tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre
.
(b)
(b)
Suponha que
tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre
.
(b)
(b)
Considere
com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre
e
.
(a)
(a)
Considere
com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre
e
.
(b)
(b)