Dados os vetores decida se existe ou não uma transformação linear

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. Temos três pares de vetores em :
  • mapeado para
  • mapeado para
  • mapeado para
Queremos saber se existe uma transformação linear que satisfaça para . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Uma transformação linear em pode ser representada por uma matriz de ordem :
Onde os coeficientes , , e são reais que definem a transformação. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes de forma que para cada vetor dado.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações usando as relações . Para cada vetor e , temos:
Aplicando isso para cada par de vetores:
  1. Para e :
  1. Para e :
  1. Para e :

Passo 4

Vamos resolver o sistema das primeiras duas equações para encontrar e :
Somando as equações (1) e (2):
Substituindo na equação (2):

Passo 5

Agora, vamos resolver para e usando as próximas duas equações:
Somando as equações (3) e (4):
Substituindo na equação (4):

Passo 6

Com os valores encontrados , , e , a matriz da transformação fica:
Agora, precisamos verificar se as últimas duas equações são satisfeitas com esses valores.
Para :

Resposta

Sim, existe uma transformação linear que satisfaz para . A transformação é representada pela matriz:

Exercícios relacionados

Suponha que tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre .
(b)
Suponha que tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre .
(b)
Considere com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre e .
(a)
Considere com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre e .
(b)