Dados os vetores u1=(2,-1), u2=(1,1), u3= (-1,-4), v1=(1,3), v2=(2,3), v3=(-5,-6) decida se existe ou não uma transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2, T(ui)=vi, i=1,2,3

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. Temos três pares de vetores em :
  • mapeado para
  • mapeado para
  • mapeado para
Queremos saber se existe uma transformação linear que satisfaça para . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Uma transformação linear A = a & b c & d em pode ser representada por uma matriz de ordem :
Onde os coeficientes , , e são reais que definem a transformação. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes de forma que para cada vetor dado.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações usando as relações a cdot xi + b cdot yi = ui c cdot xi + d cdot yi = vi . Para cada vetor 2a - b = 1 2c - d = 3 e a + b = 2 c + d = 3 , temos:
- a - 4b = -5 - c - 4d = -6
Aplicando isso para cada par de vetores:
  1. Para e :
  1. Para e :
  1. Para e :

Passo 4

Vamos resolver o sistema das primeiras duas equações para encontrar 2a - b = 1 (1) a + b = 2 (2) e 2a - b + a + b = 1 + 2 3a = 3 a = 1 :
1 + b = 2 b = 1
Somando as equações (1) e (2):
Substituindo na equação (2):

Passo 5

Agora, vamos resolver para 2c - d = 3 (3) c + d = 3 (4) e 2c - d + c + d = 3 + 3 3c = 6 c = 2 usando as próximas duas equações:
2 + d = 3 d = 1
Somando as equações (3) e (4):
Substituindo na equação (4):

Passo 6

Com os valores encontrados A = 1 & 1 2 & 1 , - a - 4b = -1 - 4(1) = -1 - 4 = -5 (confere) , - c - 4d = -2 - 4(1) = -2 - 4 = -6 (confere) e , a matriz da transformação fica:
Agora, precisamos verificar se as últimas duas equações são satisfeitas com esses valores.
Para :

Resposta

Sim, existe uma transformação linear T = 1 & 1 2 & 1 que satisfaz para . A transformação é representada pela matriz:

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