Suponha que M22 tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre d(A, B).
(b) A=[rr-2 & 4 1 & 0], B=[rr-5 & 1 6 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema nos pede para encontrar a distância entre duas matrizes e no espaço usando um produto interno específico do “Exemplo 6”. Basicamente, estamos trabalhando com produto interno e normas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre matrizes utilizando o produto interno dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é produto interno. No espaço das matrizes lang<= A, B rang<= = trace(A^T B) = sumi=1^2 sumj=1^2 aij bij , um produto interno comum é o produto de Frobenius, que é definido como:
Isso significa que multiplicamos cada elemento correspondente das matrizes e , somamos todos esses produtos e obtemos o produto interno.

Passo 3

A distância d(A, B) = | A - B | entre as matrizes | A - B | = raizlang<= A - B, A - B rang<= e é definida pela norma da diferença entre elas. Ou seja:
E a norma é calculada a partir do produto interno:
Então, nosso primeiro passo é calcular .

Passo 4

Vamos calcular A = -2 & 4 1 & 0 , B = -5 & 1 6 & 2 :
A - B = -2 - (-5) & 4 - 1 1 - 6 & 0 - 2 = 3 & 3 -5 & -2
Subtraindo elemento por elemento:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto interno lang<= A - B, A - B rang<= = (3)^2 + (3)^2 + (-5)^2 + (-2)^2 = 9 + 9 + 25 + 4 = 47 :

Passo 6

Finalmente, calculamos a norma e, consequentemente, a distância:
| A - B | = raiz47 approx 6,855

Resposta

A distância entre as matrizes e é aproximadamente .

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