Considere as seguintes retas:
r:l x=0 y=-1 s:l x=2-2 y z=2
Estude a posição relativa entre r e s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço tridimensional e pede pra gente descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. Vamos precisar usar o conteúdo de geometria espacial, especificamente sobre retas no espaço, e entender como representar essas retas de forma paramétrica para analisar se elas se cruzam, são paralelas ou estão “desencontradas” (skew).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações da reta r: x = 0 y = -1 . Ela está descrita por:
x = 0 y = -1 z = t
Isso significa que, para qualquer ponto da reta , o valor de é sempre 0 e o valor de é sempre -1. O valor de pode variar livremente. Então, podemos escrever a forma paramétrica da reta usando um parâmetro :
Onde é um número real que representa qualquer ponto da reta.

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta s: x = 2 - 2y z = 2 . Ela está descrita por:
x = 2 - 2s y = s z = 2
Aqui, o valor de é sempre 2, e depende de . Para facilitar, vamos escolher como o parâmetro . Então, podemos reescrever a forma paramétrica da reta da seguinte maneira:
Onde é um número real que representa qualquer ponto da reta.

Passo 4

Para estudar a posição relativa entre as retas 0 = 2 - 2s &(1) -1 = s &(2) t = 2 &(3) e 0 = 2 - 2(-1) Rightarrow 0 = 2 + 2 Rightarrow 0 = 4 , precisamos verificar se existe algum ponto que pertence a ambas as retas. Ou seja, queremos encontrar valores de e que satisfaçam as equações de ambas as retas simultaneamente.
Vamos igualar as coordenadas correspondentes:
De onde:
  • Da equação (2), já sabemos que .
  • Substituindo na equação (1):
Essa equação não faz sentido, pois 0 nunca é igual a 4. Isso significa que não existe nenhum ponto que pertença simultaneamente às duas retas.

Passo 5

Como não existe nenhum ponto em comum entre as retas e , elas não se intersectam. Além disso, para verificar se são paralelas, precisamos comparar os vetores diretores das retas.
  • A reta tem vetor diretor .
  • A reta tem vetor diretor .
Para que as retas sejam paralelas, os vetores diretores devem ser múltiplos um do outro. Nesse caso, não há nenhum número que multiplique para obter , então as retas não são paralelas.
Portanto, as retas são skew, ou seja, estão em planos diferentes e não se intersectam.

Resposta

As retas e são skew, ou seja, estão em planos diferentes e não se interceptam.

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