Considere a seguintes retas
Determine o plano que contém as retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas retas no espaço tridimensional e pede para a gente encontrar o plano que contém ambas essas retas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço. Vamos precisar identificar pontos e vetores direcionais dessas retas e depois usar esses elementos para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos e os vetores diretores de cada reta.
Para a reta :
Podemos ver que quando , temos o ponto . O vetor diretor da reta vem dos coeficientes de , que é .
Para a reta :
Quando , temos o ponto . O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora que temos os pontos e e os vetores diretores e , podemos usar esses vetores para encontrar um vetor normal ao plano. Para isso, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores.
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 7:

Passo 4

Com o vetor normal e um ponto que pertence ao plano, podemos escrever a equação do plano. Vamos usar o ponto .
A equação geral do plano é:
Onde são os componentes do vetor normal e é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O plano que contém as retas e é dado por:

Exercícios relacionados

Considere as seguintes retas:
Estude a posição relativa entre e .
Considere com o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre e .
(b)
Considere os planos:
Estude a posição relativa entre os planos.
Determine o volume do tetraedro onde , e .