Considere a seguintes retas
r:l x=4-t y=3+2 t z=2-3 t (t in R) s:l x=-3-3 k y=-2+6 k z=1-2 k (k in R)
Determine o plano beta que contém as retas r e s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas retas no espaço tridimensional e pede para a gente encontrar o plano que contém ambas essas retas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço. Vamos precisar identificar pontos e vetores direcionais dessas retas e depois usar esses elementos para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos e os vetores diretores de cada reta.
Para a reta x = 4 - t y = 3 + 2t z = 2 - 3t :
x = -3 - 3k y = -2 + 6k z = 1 - 2k
Podemos ver que quando , temos o ponto . O vetor diretor da reta vem dos coeficientes de , que é .
Para a reta :
Quando , temos o ponto . O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora que temos os pontos n = i & j & k -1 & 2 & -3 -3 & 6 & -2 e n = i(2 cdot (-2) - (-3) cdot 6) - j((-1) cdot (-2) - (-3) cdot (-3)) + k((-1) cdot 6 - 2 cdot (-3)) e os vetores diretores n = i(-4 + 18) - j(2 - 9) + k(-6 + 6) e n = i(14) - j(-7) + k(0) , podemos usar esses vetores para encontrar um vetor normal ao plano. Para isso, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores.
O produto vetorial n = (14, 7, 0) é dado por:
n = (2, 1, 0)
Calculando o determinante:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 7:

Passo 4

Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e um ponto que pertence ao plano, podemos escrever a equação do plano. Vamos usar o ponto 2(x - 4) + 1(y - 3) + 0(z - 2) = 0 .
A equação geral do plano é:
2x - 8 + y - 3 = 0
Onde 2x + y - 11 = 0 são os componentes do vetor normal e é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O plano 2x + y - 11 = 0 que contém as retas e é dado por:

Exercícios relacionados