Considere o mapa definido pelas equações
x=u+v, y=v-u^2
Calcule integral duplaD(x-y+1)^-2 d A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um mapa definido pelas equações e . O que precisamos calcular é a integral dupla . Isso envolve mudar as variáveis de integração de e para e , e para isso vamos usar o conceito de transformação de variáveis e o determinante jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação. Temos:
x = u + v
y = v - u^2
Isso significa que estamos mapeando pontos do plano para o plano . Para trocar as variáveis na integral, precisamos expressar em termos de e usando o jacobiano dessa transformação.

Passo 3

Vamos encontrar o jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v , que é o determinante da matriz das derivadas parciais:
partial xpartial u = 1, partial xpartial v = 1
Calculando as derivadas:
partial ypartial u = -2u, partial ypartial v = 1
J = (1)(1) - (1)(-2u) = 1 + 2u = 2u + 1
Então,

Passo 4

Agora, a gente expressa a integral original em termos de integral duplaD(x - y + 1)^-2 , dA = integral duplaD' ( (u + v) - (v - u^2) + 1 )^-2 cdot |J| , du , dv e (u + v) - (v - u^2) + 1 = u + v - v + u^2 + 1 = u^2 + u + 1 :
integral duplaD' (u^2 + u + 1)^-2 cdot |2u + 1| , du , dv
Simplificando a expressão dentro do parênteses:
Então, a integral fica:

Passo 5

Precisamos agora definir os limites de integração na região no plano . Porém, como o enunciado não especifica a região , assumimos que a região é tal que e variam sobre todos os valores reais que correspondem a . Para simplificar, podemos considerar uma região específica ou seguir com a integral geral, mas sem mais informações, não podemos prosseguir com valores numéricos específicos.

Resposta

A integral transformada fica:
integral duplaD' |2u + 1|(u^2 + u + 1)^2 , du , dv

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