Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla, que precisa ser transformada para coordenadas polares e então resolvida. A matéria envolvida é cálculo integral, especificamente mudança de coordenadas e integração em coordenadas polares. Vamos precisar entender como mudar os limites de integração e a função integranda para o sistema polar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original é:
Aqui, vai de 0 a 1, e para cada , vai de até . Isso descreve uma região no primeiro quadrante onde está entre e .
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
E o elemento de área vira . Também, a função no integrando simplifica para , já que .
Passo 4
Vamos determinar os novos limites de integração. Quando vai de 0 a 1 e de a , isso corresponde a indo de 0 até onde as curvas se encontram. As curvas e se intersectam em e .
Em coordenadas polares, se torna e pode ser reescrita como , que simplifica para .
Portanto, os limites para vão de 0 a , e para cada , vai de 0 até .
Agora, a integral em coordenadas polares fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral agora. Integrando primeiro em :