Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.
integral0^1 integralx^2^x 1raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla, que precisa ser transformada para coordenadas polares e então resolvida. A matéria envolvida é cálculo integral, especificamente mudança de coordenadas e integração em coordenadas polares. Vamos precisar entender como mudar os limites de integração e a função integranda para o sistema polar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original é:
integral0^1 integralx^2^x 1raizx^2+y^2 , dy , dx
Aqui, vai de 0 a 1, e para cada , vai de até . Isso descreve uma região no primeiro quadrante onde está entre e .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r costheta e y = r sintheta
E o elemento de área vira . Também, a função no integrando simplifica para , já que .

Passo 4

Vamos determinar os novos limites de integração. Quando integral0^pi4 integral0^sinthetacos^2theta 1r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi4 integral0^sinthetacos^2theta 1 , dr , dtheta vai de 0 a 1 e de a , isso corresponde a indo de 0 até onde as curvas se encontram. As curvas e se intersectam em e .
Em coordenadas polares, se torna e pode ser reescrita como , que simplifica para .
Portanto, os limites para vão de 0 a , e para cada , vai de 0 até .
Agora, a integral em coordenadas polares fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral agora. Integrando primeiro em integral0^sinthetacos^2theta 1 , dr = sinthetacos^2theta :
integral0^pi4 sinthetacos^2theta , dtheta
Agora, integramos em - integral1^raiz22 1u^2 , du = 1u |1^raiz22 = 2raiz2 - 1 = raiz2 - 1 :
Fazendo a substituição , :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Usando a regra da cadeia. Para f(x) = 2x^2 + x^4. Diferencie [g(x)]^3 g(x)^3
Inverta a ordem de integração para derivar a fórmula
integral0^a integral0^y e^m(a-x) f(x) d x d y=integral0^a(a-x) e^m(a-x) f(x) d x
com a e m constantes e a>0.
Usando a regra da cadeia, diferencie:
f(x) = x^2 / raiz3(x^3 + 1)
Considere o mapa definido pelas equações
x=u+v, y=v-u^2
Calcule integral duplaD(x-y+1)^-2 d A.