Usando a regra da cadeia, diferencie:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para diferenciar a função
usando a regra da cadeia. Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia para funções compostas. Vamos precisar lembrar como aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação. A função dada é:
Podemos reescrever a raiz cúbica como uma potência fracionária:
Passo 3
Agora, temos um produto de duas funções:
e
. Para diferenciar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada separadamente. Primeiro, a derivada de
:
Passo 6
Agora, vamos diferenciar
usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta
é
.
Aqui,
e
.
Primeiro, derivamos
:
Agora, derivamos
:
Multiplicando as duas derivadas:
Passo 7
Agora, substituímos as derivadas encontradas na expressão do passo 4:
Simplificando:
Passo 8
Para deixar a expressão mais simples, podemos fatorar
:
Mas vamos manter a expressão já simplificada:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.
Usando a regra da cadeia. Para
. Diferencie
Considere o mapa definido pelas equações
Calcule
.
Determine os valores de a e b para que a função abaixo seja diferenciável: