Transforme a integral em coordenadas polares e resolva. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar a integral dada em coordenadas polares e resolver. Estamos lidando com integrais duplas, especificamente integrando a função sobre uma determinada região. Para resolver esse tipo de integral, coordenadas polares são super úteis, especialmente quando a região de integração tem simetria circular ou radial. Então, vamos precisar entender como converter de coordenadas retangulares (x, y) para polares (r, θ) e aplicar essa transformação na nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a transformação para coordenadas polares:
Além disso, a área diferencial em coordenadas polares é dada por:
E a função em coordenadas polares simplifica para:
Então, vamos substituir tudo isso na nossa integral original.
Passo 3
Agora, vamos identificar os novos limites de integração em coordenadas polares. A região de integração original vai de a e de a . Isso descreve o primeiro quadrante de um círculo de raio . Em coordenadas polares, isso corresponde a indo de a (90 graus) e indo de a .