Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.
integral0^a integral0^raiza^2-y^2(x^2+y^2) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar a integral dada em coordenadas polares e resolver. Estamos lidando com integrais duplas, especificamente integrando a função sobre uma determinada região. Para resolver esse tipo de integral, coordenadas polares são super úteis, especialmente quando a região de integração tem simetria circular ou radial. Então, vamos precisar entender como converter de coordenadas retangulares (x, y) para polares (r, θ) e aplicar essa transformação na nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a transformação para coordenadas polares:
x = r cdot cos(theta)
y = r cdot sin(theta)
Além disso, a área diferencial em coordenadas polares é dada por:
dA = r cdot dr cdot dtheta
E a função x^2 + y^2 = r^2 em coordenadas polares simplifica para:
Então, vamos substituir tudo isso na nossa integral original.

Passo 3

Agora, vamos identificar os novos limites de integração em coordenadas polares. A região de integração original vai de a e de a . Isso descreve o primeiro quadrante de um círculo de raio . Em coordenadas polares, isso corresponde a indo de a (90 graus) e indo de a .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^pi2 integral0^a r^2 cdot r cdot dr cdot dtheta
Simplificando a expressão, fica:
integral0^pi2 integral0^a r^3 , dr , dtheta
Agora, vamos integrar em relação a primeiro.

Passo 5

Integrando integral0^a r^3 , dr = [ r^44 ]0^a = a^44 em relação a integral0^pi2 a^44 , dtheta :
Agora, nossa integral fica:

Passo 6

Integrando a^44 integral0^pi2 dtheta = a^44 [ theta ]0^pi2 = a^44 cdot pi2 = pi a^48 em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Determine os valores de a e b para que a função abaixo seja diferenciável:
f(x)=cc x^2-4 a x+7 & se x <=-2 3-2 x se -2= 3
Considere o mapa definido pelas equações
x=u+v, y=v-u^2
Calcule integral duplaD(x-y+1)^-2 d A.
Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas:
g(x) = (x + sen(x)) / (x - cos(x))
lim x e^2-1-xx^2