Determine os valores de a e b para que a função abaixo seja diferenciável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de e para que essa função seja diferenciável. Isso envolve garantir que a função seja contínua e que as derivadas se comportem direitinho nos pontos onde as peças se encontram. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivadas de funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua nos pontos de junção, ou seja, em (-2)^2 - 4a(-2) + 7 = 3 - 2(-2) e 4 + 8a + 7 = 3 + 4 . Continuidadede significa que não tem “saltos” na função nesses pontos.
Para 11 + 8a = 7 :
A parte da função para 8a = 7 - 11 é 8a = -4 .
A parte para a = -48 = -12 é .
Vamos igualar os limites dessas duas expressões quando se aproxima de :
Resolvendo para :
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em 3 - 2(3) = 3 + 2b(3) :
A parte para 3 - 6 = 3 + 6b é -3 = 3 + 6b .
A parte para 6b = -3 - 3 é 6b = -6 .
Igualamos os limites quando b = -1 se aproxima de :
Resolvendo para :
Passo 4
Com f'(x) = 2x - 4a e f'(-2) = 2(-2) - 4(-12) = -4 + 2 = -2 , garantimos que a função seja contínua nos pontos f'(x) = -2 e f'(x) = -2 . Agora, precisamos garantir que as derivadas à esquerda e à direita nesses pontos sejam iguais para a função ser diferenciável.
Para f'(x) = 2b :
Derivada da primeira parte ( f'(3) = 2(-1) = -2 ):
Derivada da segunda parte ():
Como de ambos os lados, está tudo certo.
Para :
Derivada da segunda parte ():
Derivada da terceira parte ():
Novamente, de ambos os lados, garantindo a diferenciabilidade.