Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor da função cosseno e simplificar a expressão passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador. Observamos que
. Então, nosso limite fica:
Passo 3
Agora, vamos expandir
usando a série de Taylor em torno de
. A expansão é:
Vamos usar os primeiros termos dessa expansão para aproximar
próximo de 0.
Passo 4
Substituindo a expansão de
na expressão do numerador:
Passo 5
Agora, substituímos esta expressão simplificada de volta no limite:
Podemos separar os termos:
Passo 6
Analisando cada termo separadamente:
-
tende a quando -
é uma constante -
tende a quando
Passo 7
Observamos que
cresce mais rapidamente para
do que
para
. Portanto, o termo
domina a expressão.
Passo 8
Assim, o limite é dominado por
que tende a
quando
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Considere o mapa definido pelas equações
Seja
um triângulo
com vértices
e
. Esboce a imagem de
no plano
.
Determine o gráfico da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
, quando:
e