lim x 0 cos x-1+1x x^2x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor da função cosseno e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador. Observamos que lim x 0 cos x - 1 + xx^4 . Então, nosso limite fica:

Passo 3

Agora, vamos expandir cos x = 1 - x^22 + x^424 - cdots usando a série de Taylor em torno de . A expansão é:
Vamos usar os primeiros termos dessa expansão para aproximar próximo de 0.

Passo 4

Substituindo a expansão de cos x - 1 + x = (1 - x^22 + x^424) - 1 + x = -x^22 + x^424 + x na expressão do numerador:

Passo 5

Agora, substituímos esta expressão simplificada de volta no limite:
lim x 0 -x^22 + x^424 + xx^4
Podemos separar os termos:
lim x 0 ( -x^22x^4 + x^424x^4 + xx^4 ) = lim x 0 ( -12x^2 + 124 + 1x^3 )

Passo 6

Analisando cada termo separadamente:
  • tende a quando
  • é uma constante
  • tende a quando

Passo 7

Observamos que cresce mais rapidamente para do que para . Portanto, o termo domina a expressão.

Passo 8

Assim, o limite é dominado por que tende a quando .

Resposta

O limite é .

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