Considere uma massa distribuída sobre o disco
com densidade em
dada por
medida em
. Calcule a massa total na porção do disco que fica no primeiro quadrante.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma densidade de massa dada por
distribuída sobre o disco
. Precisamos calcular a massa total dessa distribuição na parte do disco que está no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos usar integração dupla e mudar para coordenadas polares, que facilitam os cálculos em regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a massa total usando integração dupla. A massa
é dada por:
Onde
é a região do primeiro quadrante do disco
.
Passo 3
Como estamos trabalhando com um disco, é mais fácil converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, no primeiro quadrante, o ângulo
varia de
a
e o raio
varia de
a
(já que
implica
).
Passo 4
Substituindo na expressão da massa:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Vamos resolver a integral em
primeiro. Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. A integral se transforma em:
Resolvendo essa integral:
Calculando os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral original:
Resolvendo a integral em
:
Portanto:
Como massa não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A massa total na porção do disco que fica no primeiro quadrante é
.
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