Considere uma massa distribuída sobre o disco x^2 + y^2 <= 4 com densidade em (x, y) dada por rho(x, y) = x * y * raiz(1 + x^2 + y^2) medida em g / m^2. Calcule a massa total na porção do disco que fica no primeiro quadrante.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma densidade de massa dada por distribuída sobre o disco . Precisamos calcular a massa total dessa distribuição na parte do disco que está no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos usar integração dupla e mudar para coordenadas polares, que facilitam os cálculos em regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a massa total usando integração dupla. A massa M é dada por:
Onde D é a região do primeiro quadrante do disco .

Passo 3

Como estamos trabalhando com um disco, é mais fácil converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, no primeiro quadrante, o ângulo theta varia de 0 a pi / 2 e o raio r varia de 0 a (já que implica r <= 2).

Passo 4

Substituindo na expressão da massa:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Vamos resolver a integral em r primeiro. Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral se transforma em:
Resolvendo essa integral:
Calculando os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral original:
Resolvendo a integral em theta:
Portanto:
Como massa não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A massa total na porção do disco que fica no primeiro quadrante é .

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