Determine se a série converge ou diverge.
38 sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries infinitas aqui, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência, especialmente frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série ignorando o fator constante 0,38, já que ele não afeta se a série converge ou diverge. Então, focamos em .

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos decompôr a fração 1n(n+1)(n+2) = An + Bn+1 + Cn+2 em frações parciais. Isso significa expressar a fração como a soma de termos mais simples. Vamos supor que:
1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, precisamos encontrar os valores de A, B e C. Para isso, podemos escolher valores específicos de n que simplificam a equação.

Passo 4

Vamos escolher:
  • 1 = A(0)(1) + B(-1)(1) + C(-1)(0) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1 :
    1 = A(-1)(0) + B(-2)(0) + C(-2)(-1) Rightarrow 1 = 2C Rightarrow C = 12
  • 1 = A(1)(2) + B(0)(2) + C(0)(1) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12 :
  • :

Passo 5

Agora que temos A, B e C, podemos reescrever a fração original:
1n(n+1)(n+2) = 1/2n - 1n+1 + 1/2n+2
Então, a série fica:
sumn=1^infty ( 1/2n - 1n+1 + 1/2n+2 )

Passo 6

Agora, vamos somar os termos para ver se a série converge ou diverge. Observando a forma da série, notamos que há telescopagem, onde muitos termos se cancelam mutuamente.
Vamos escrever os primeiros termos:
( 1/21 - 12 + 1/23 ) + ( 1/22 - 13 + 1/24 ) + dots
Ao cancelar termos semelhantes, restam poucos termos não cancelados à medida que n tende ao infinito.

Passo 7

Após a telescopagem, a soma parcial se aproxima de um limite finito. Isso significa que a série converge. Portanto, a série original também converge, já que multiplicar por uma constante não afeta a convergência.

Resposta

A série converge.

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