Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries infinitas aqui, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência, especialmente frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série ignorando o fator constante 0,38, já que ele não afeta se a série converge ou diverge. Então, focamos em .

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos decompôr a fração em frações parciais. Isso significa expressar a fração como a soma de termos mais simples. Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, precisamos encontrar os valores de A, B e C. Para isso, podemos escolher valores específicos de n que simplificam a equação.

Passo 4

Vamos escolher:
  • :
  • :
  • :

Passo 5

Agora que temos A, B e C, podemos reescrever a fração original:
Então, a série fica:

Passo 6

Agora, vamos somar os termos para ver se a série converge ou diverge. Observando a forma da série, notamos que há telescopagem, onde muitos termos se cancelam mutuamente.
Vamos escrever os primeiros termos:
Ao cancelar termos semelhantes, restam poucos termos não cancelados à medida que n tende ao infinito.

Passo 7

Após a telescopagem, a soma parcial se aproxima de um limite finito. Isso significa que a série converge. Portanto, a série original também converge, já que multiplicar por uma constante não afeta a convergência.

Resposta

A série converge.

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l)
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