Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série
converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries infinitas aqui, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência, especialmente frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série ignorando o fator constante 0,38, já que ele não afeta se a série converge ou diverge. Então, focamos em
.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos decompôr a fração
em frações parciais. Isso significa expressar a fração como a soma de termos mais simples. Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, precisamos encontrar os valores de A, B e C. Para isso, podemos escolher valores específicos de n que simplificam a equação.
Passo 4
Vamos escolher:
-
: -
: -
:
Passo 5
Agora que temos A, B e C, podemos reescrever a fração original:
Então, a série fica:
Passo 6
Agora, vamos somar os termos para ver se a série converge ou diverge. Observando a forma da série, notamos que há telescopagem, onde muitos termos se cancelam mutuamente.
Vamos escrever os primeiros termos:
Ao cancelar termos semelhantes, restam poucos termos não cancelados à medida que n tende ao infinito.
Passo 7
Após a telescopagem, a soma parcial se aproxima de um limite finito. Isso significa que a série converge. Portanto, a série original
também converge, já que multiplicar por uma constante não afeta a convergência.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas das seguintes funções:
l)
l)
Considere uma massa distribuída sobre o disco
com densidade em
dada por
medida em
. Calcule a massa total na porção do disco que fica no primeiro quadrante.
Determine a área da superfície da parte da esfera
que está dentro do parabolóide
.
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.