Determine se a série converge ou diverge.
33 sumn=1^infty 1raiz[3]5 n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 1raiz[3]5 n^2+1
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador para entender como a expressão se comporta quando n fica muito grande. Observamos que em
raiz[3]5 n^2 +1
o termo 5n² domina quando n é grande, então podemos aproximar:
raiz[3]5 n^2 +1 approx raiz[3]5 n^2 = 5^1/3 cdot n^2/3
Assim, a expressão inicial fica aproximadamente:
15^1/3 cdot n^2/3 = 15^1/3 cdot 1n^2/3

Passo 3

Agora, vamos comparar com uma série p, que é da forma:
sumn=1^infty 1n^p
Sabemos que uma série p converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1. No nosso caso, o expoente do n é 2/3, que é menor que 1.

Passo 4

Como a nossa série está próxima de:
sumn=1^infty 1n^2/3
e sabemos que essa série diverge porque 2/3 < 1, pelo Teste da Comparação, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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