Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para a gente usar o teste limite de comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar lembrar sobre séries infinitas e o teste de comparação para analisar o comportamento da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série removendo a constante 27, já que multiplicar uma série por um número não afeta sua convergência. Portanto, vamos analisar a série .

Passo 3

Agora, queremos comparar essa série com uma série que sabemos se converge ou diverge. Observando o denominador , para valores grandes de , o termo 9 se torna desprezível em comparação com . Então, podemos aproximar .

Passo 4

Escolhemos a série comparativa , que é uma série p onde . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Como , a série diverge.

Passo 5

Aplicando o teste limite de comparação, calculamos o limite:
Como o limite é um número positivo finito e a série comparativa diverge, então a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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