Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para a gente usar o teste limite de comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar lembrar sobre séries infinitas e o teste de comparação para analisar o comportamento da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série removendo a constante 27, já que multiplicar uma série por um número não afeta sua convergência. Portanto, vamos analisar a série
.
Passo 3
Agora, queremos comparar essa série com uma série que sabemos se converge ou diverge. Observando o denominador
, para valores grandes de
, o termo 9 se torna desprezível em comparação com
. Então, podemos aproximar
.
Passo 4
Escolhemos a série comparativa
, que é uma série p onde
. Sabemos que uma série p converge se
e diverge se
. Como
, a série
diverge.
Passo 5
Aplicando o teste limite de comparação, calculamos o limite:
Como o limite é um número positivo finito e a série comparativa diverge, então a série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Considere uma massa distribuída sobre o disco
com densidade em
dada por
medida em
. Calcule a massa total na porção do disco que fica no primeiro quadrante.