A velocidade limite de um paraquedista de 70 kg na posição spread-eagle (braços e pernas abertos) é de aproximadamente
. Determine sua velocidade nos instante
segundos após ele ter saltado de um balão estacionário. Compare com as velocidades correspondentes se não houver resistência do ar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paraquedista de 70 kg que salta de um balão e alcança uma velocidade limite de 50 m/s na posição spread-eagle, ou seja, com os braços e pernas abertos. O conteúdo aqui é de dinâmica, mais especificamente de movimento com resistência do ar. Vamos precisar usar as equações do movimento com resistência proporcional à velocidade e também comparar com o caso sem resistência do ar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa velocidade limite. É a velocidade que o paraquedista atinge quando a força da resistência do ar iguala a força da gravidade. Matemáticamente, isso acontece quando a aceleração é zero.
A força da gravidade é dada por:
onde
e
.
A força da resistência do ar, quando atinge a velocidade limite
, é:
Como as forças se equilibram na velocidade limite:
Passo 3
Vamos calcular o valor de
:
Passo 4
Agora, para encontrar a velocidade do paraquedista em qualquer instante
, usamos a solução da equação diferencial para o movimento com resistência linear:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
para os tempos
segundos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, vamos comparar com o caso sem resistência do ar. Sem resistência, o movimento é livremente acelerado pela gravidade, então a velocidade é dada por:
Calculando para os mesmos tempos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As velocidades do paraquedista após
segundos com resistência do ar são aproximadamente:
-
: 8,95 m/s -
: 31,25 m/s -
: 42,95 m/s -
: 49,00 m/s -
: 49,85 m/s
Já sem resistência do ar, as velocidades seriam:
-
: 9,8 m/s -
: 49,0 m/s -
: 98,0 m/s -
: 196,0 m/s -
: 294,0 m/s
Isso mostra que, com a resistência do ar, a velocidade do paraquedista se aproxima do limite de 50 m/s, enquanto sem resistência, a velocidade continuaria aumentando continuamente.
Exercícios relacionados
Considere o projétil estudado na aula na seção TRAJETORIA E ALCANCE EM UM MEIO LINEAR. (a) Assumindo que não há resistência do ar, escreva a posição
como função de
e elimine
para obter a trajetória
como função de
. (b) A trajetória correta, incluindo a força de arrasto linear, é dada por
Mostre que isso se reduz a nossa resposta para o item (a) quando a resistência do ar é desprezada (
e
ambos tendem a infinito) [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para
.].
Considere uma massa
forçada a mover-se sobre o eixo
e sujeita a uma força resultante
, onde k é uma constante positiva. A massa é largada a partir do repouso em
no instante
. Determine a velocidade da massa como uma função de
, isto é,
para alguma função
. Separe isso como
e integre no tempo 0 até
para determinar
como uma função de
.
Um bloco de massa
está suportado por um cabo preso a uma barra (
de comprimento e massa
) articulada no ponto
, como mostra a figura (abaixo à esquerda). A barra é sustentada por outro cabo (que une os pontos
e
) que está preso à parede no ponto
. Faça o diagrama de forças para a barra e escreva-as em um referencial determinado por você.
Um projétil que está sujeito à resistência do ar quadrática é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial
. (a) Escreva a equação para o movimento para cima e resolva-a para obter v como função de
. (b) Mostre que o tempo até alcançar a altura máxima da trajetória é
© Para uma bola de beisebol com velocidade limite de
, determine
para os casos
, 30 e
e compare com os valores correspondentes no vácuo.