A velocidade limite de um paraquedista de 70 kg na posição spread-eagle (braços e pernas abertos) é de aproximadamente
. Determine sua velocidade nos instante
segundos após ele ter saltado de um balão estacionário. Compare com as velocidades correspondentes se não houver resistência do ar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paraquedista de 70 kg que salta de um balão e alcança uma velocidade limite de 50 m/s na posição spread-eagle, ou seja, com os braços e pernas abertos. O conteúdo aqui é de dinâmica, mais especificamente de movimento com resistência do ar. Vamos precisar usar as equações do movimento com resistência proporcional à velocidade e também comparar com o caso sem resistência do ar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa velocidade limite. É a velocidade que o paraquedista atinge quando a força da resistência do ar iguala a força da gravidade. Matemáticamente, isso acontece quando a aceleração é zero.
A força da gravidade é dada por:
onde
e
.
A força da resistência do ar, quando atinge a velocidade limite
, é:
Como as forças se equilibram na velocidade limite:
Passo 3
Vamos calcular o valor de
:
Passo 4
Agora, para encontrar a velocidade do paraquedista em qualquer instante
, usamos a solução da equação diferencial para o movimento com resistência linear:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
para os tempos
segundos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, vamos comparar com o caso sem resistência do ar. Sem resistência, o movimento é livremente acelerado pela gravidade, então a velocidade é dada por:
Calculando para os mesmos tempos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As velocidades do paraquedista após
segundos com resistência do ar são aproximadamente:
-
: 8,95 m/s -
: 31,25 m/s -
: 42,95 m/s -
: 49,00 m/s -
: 49,85 m/s
Já sem resistência do ar, as velocidades seriam:
-
: 9,8 m/s -
: 49,0 m/s -
: 98,0 m/s -
: 196,0 m/s -
: 294,0 m/s
Isso mostra que, com a resistência do ar, a velocidade do paraquedista se aproxima do limite de 50 m/s, enquanto sem resistência, a velocidade continuaria aumentando continuamente.