A velocidade limite de um paraquedista de 70 kg na posição spread-eagle (braços e pernas abertos) é de aproximadamente 50 m / s(180 km / h). Determine sua velocidade nos instante t=1,5,10,20,30 segundos após ele ter saltado de um balão estacionário. Compare com as velocidades correspondentes se não houver resistência do ar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paraquedista de 70 kg que salta de um balão e alcança uma velocidade limite de 50 m/s na posição spread-eagle, ou seja, com os braços e pernas abertos. O conteúdo aqui é de dinâmica, mais especificamente de movimento com resistência do ar. Vamos precisar usar as equações do movimento com resistência proporcional à velocidade e também comparar com o caso sem resistência do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa velocidade limite. É a velocidade que o paraquedista atinge quando a força da resistência do ar iguala a força da gravidade. Matemáticamente, isso acontece quando a aceleração é zero.
A força da gravidade é dada por:
Fg = m cdot g
onde Fr = k cdot vt e m cdot g = k cdot vt k = m cdot gvt ².
A força da resistência do ar, quando atinge a velocidade limite , é:
Como as forças se equilibram na velocidade limite:

Passo 3

Vamos calcular o valor de k = 70,kg cdot 9,8,m/s²50,m/s = 68650 = 13,72,kg/s :
²

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade do paraquedista em qualquer instante v(t) = vt cdot (1 - e^-km t) , usamos a solução da equação diferencial para o movimento com resistência linear:
v(t) = 50,m/s cdot (1 - e^-13,7270 t) v(t) = 50,m/s cdot (1 - e^-0,196 t)
Substituindo e :

Passo 5

Agora, vamos calcular v(1) = 50 cdot (1 - e^-0,196 cdot 1) approx 50 cdot (1 - e^-0,196) approx 50 cdot (1 - 0,821) approx 50 cdot 0,179 approx 8,95,m/s para os tempos v(5) = 50 cdot (1 - e^-0,196 cdot 5) approx 50 cdot (1 - e^-0,98) approx 50 cdot (1 - 0,375) approx 50 cdot 0,625 approx 31,25,m/s segundos:
  1. Para v(10) = 50 cdot (1 - e^-0,196 cdot 10) approx 50 cdot (1 - e^-1,96) approx 50 cdot (1 - 0,141) approx 50 cdot 0,859 approx 42,95,m/s :
v(20) = 50 cdot (1 - e^-0,196 cdot 20) approx 50 cdot (1 - e^-3,92) approx 50 cdot (1 - 0,020) approx 50 cdot 0,980 approx 49,00,m/s
  1. Para v(30) = 50 cdot (1 - e^-0,196 cdot 30) approx 50 cdot (1 - e^-5,88) approx 50 cdot (1 - 0,003) approx 50 cdot 0,997 approx 49,85,m/s :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, vamos comparar com o caso sem resistência do ar. Sem resistência, o movimento é livremente acelerado pela gravidade, então a velocidade é dada por:
v(t) = g cdot t
Calculando para os mesmos tempos:
  1. Para v(1) = 9,8 cdot 1 = 9,8,m/s :
v(5) = 9,8 cdot 5 = 49,0,m/s
  1. Para v(10) = 9,8 cdot 10 = 98,0,m/s :
v(20) = 9,8 cdot 20 = 196,0,m/s
  1. Para v(30) = 9,8 cdot 30 = 294,0,m/s :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

As velocidades do paraquedista após segundos com resistência do ar são aproximadamente:
  • : 8,95 m/s
  • : 31,25 m/s
  • : 42,95 m/s
  • : 49,00 m/s
  • : 49,85 m/s
Já sem resistência do ar, as velocidades seriam:
  • : 9,8 m/s
  • : 49,0 m/s
  • : 98,0 m/s
  • : 196,0 m/s
  • : 294,0 m/s
Isso mostra que, com a resistência do ar, a velocidade do paraquedista se aproxima do limite de 50 m/s, enquanto sem resistência, a velocidade continuaria aumentando continuamente.

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