Considere uma massa m movendo-se em uma rampa, sem atrito, que tem uma declividade com ângulo alpha com a horizontal. Obtenha a Lagrangiana em termos da coordenada x, medida horizontalmente através da rampa e da coordenada y, medida para baixo da rampa. (Trate o sistema como bidimensional, mas inclua a energia potencial gravitacional.) Determine as duas equações de Lagrange e mostre que elas são o que você esperava.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma massa que está se movendo em uma rampa sem atrito. A rampa está inclinada com um ângulo em relação à horizontal. Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana do sistema usando duas coordenadas: , que mede horizontalmente ao longo da rampa, e , que mede verticalmente para baixo da rampa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de energia cinética, energia potencial e Lagrangiana na mecânica de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas e . Imagine a rampa inclinada; será a distância percorrida horizontalmente ao longo da rampa, e será a altura vertical descendente a partir do topo da rampa.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a energia cinética ( T = 12 m ( (dxdt)^2 + (dydt)^2 ) ). A energia cinética depende do movimento da massa. Como estamos em duas dimensões, vamos considerar os movimentos em e . A energia cinética total é dada por:
Aqui, e são as velocidades nas direções e , respectivamente.

Passo 4

Em seguida, a energia potencial gravitacional ( V = m g y ) é a energia devido à posição da massa em um campo gravitacional. Como estamos medindo para baixo, a energia potencial é:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

A Lagrangiana ( L = T - V = 12 m ( (dxdt)^2 + (dydt)^2 ) - m g y ) é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Essa fórmula nos dá a Lagrangiana em termos das coordenadas e .

Passo 6

Agora vamos aplicar as Equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento. As Equações de Lagrange são dadas por:
ddt ( partial Lpartial dotqi ) - partial Lpartial qi = 0
Onde são as coordenadas generalizadas, neste caso e , e são suas derivadas em relação ao tempo.

Passo 7

Primeiro, vamos derivar em relação a partial Lpartial dotx = m dotx :
ddt ( m dotx ) = m ddotx
partial Lpartial x = 0
m ddotx = 0
Então, a Equação de Lagrange para fica:
Isso indica que não há aceleração na direção , o que faz sentido já que não há forças atuando nessa direção (a rampa é sem atrito).

Passo 8

Agora, vamos derivar em relação a partial Lpartial doty = m doty :
ddt ( m doty ) = m ddoty
partial Lpartial y = -m g
m ddoty + m g = 0 Rightarrow ddoty = -g
Então, a Equação de Lagrange para fica:
Isso mostra que a aceleração na direção é igual a , que é o esperado para um objeto em queda livre.

Resposta

A Lagrangiana do sistema é:
L = 12 m ( dotx^2 + doty^2 ) - m g y
As Equações de Lagrange obtidas são:
m ddotx = 0
ddoty = -g
Essas equações confirmam o comportamento esperado: ausência de aceleração na direção horizontal ( ) e aceleração igual a na direção vertical ( ), correspondendo à física intuitiva do sistema.

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