Considere uma massa
movendo-se em uma rampa, sem atrito, que tem uma declividade com ângulo
com a horizontal. Obtenha a Lagrangiana em termos da coordenada
, medida horizontalmente através da rampa e da coordenada
, medida para baixo da rampa. (Trate o sistema como bidimensional, mas inclua a energia potencial gravitacional.) Determine as duas equações de Lagrange e mostre que elas são o que você esperava.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma massa
que está se movendo em uma rampa sem atrito. A rampa está inclinada com um ângulo
em relação à horizontal. Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana do sistema usando duas coordenadas:
, que mede horizontalmente ao longo da rampa, e
, que mede verticalmente para baixo da rampa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de energia cinética, energia potencial e Lagrangiana na mecânica de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas
e
. Imagine a rampa inclinada;
será a distância percorrida horizontalmente ao longo da rampa, e
será a altura vertical descendente a partir do topo da rampa.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a energia cinética (
). A energia cinética depende do movimento da massa. Como estamos em duas dimensões, vamos considerar os movimentos em
e
. A energia cinética total é dada por:
Aqui,
e
são as velocidades nas direções
e
, respectivamente.
Passo 4
Em seguida, a energia potencial gravitacional (
) é a energia devido à posição da massa em um campo gravitacional. Como estamos medindo
para baixo, a energia potencial é:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
A Lagrangiana (
) é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Essa fórmula nos dá a Lagrangiana em termos das coordenadas
e
.
Passo 6
Agora vamos aplicar as Equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento. As Equações de Lagrange são dadas por:
Onde
são as coordenadas generalizadas, neste caso
e
, e
são suas derivadas em relação ao tempo.
Passo 7
Primeiro, vamos derivar em relação a
:
Então, a Equação de Lagrange para
fica:
Isso indica que não há aceleração na direção
, o que faz sentido já que não há forças atuando nessa direção (a rampa é sem atrito).
Passo 8
Agora, vamos derivar em relação a
:
Então, a Equação de Lagrange para
fica:
Isso mostra que a aceleração na direção
é igual a
, que é o esperado para um objeto em queda livre.
Resposta
A Lagrangiana do sistema é:
As Equações de Lagrange obtidas são:
Essas equações confirmam o comportamento esperado: ausência de aceleração na direção horizontal (
) e aceleração igual a
na direção vertical (
), correspondendo à física intuitiva do sistema.