Duas partículas de massas
e
estão conectadas por uma mola, de massa desprezível e comprimento natural
e com constante de força
. Inicialmente,
está em repouso sobre a mesa e estou segurando
verticalmente acima de
a uma altura
. No instante
, projeto
verticalmente para cima com velocidade inicial
. Determine a posição das duas massas para qualquer instante de tempo
subsequente (antes de qualquer uma das massas retornar à mesa) e descreva o movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo duas partículas com massas
e
ligadas por uma mola sem massa, que tem um comprimento natural
e constante de força
. Inicialmente, a massa
está parada sobre a mesa, e a massa
está segurada verticalmente acima de
na altura
. No instante
, a gente dá um impulso para
jogando ela para cima com uma velocidade inicial
. A gente precisa descobrir onde as duas massas estarão em qualquer instante de tempo
depois disso (antes de qualquer uma delas voltar para a mesa) e descrever como elas se movimentam.
Vamos usar os conceitos de mecânica clássica, especialmente leis de Newton e movimento harmônico simples, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que estão agindo nas duas massas depois que a
é projetada para cima.
Para
:
- Força da mola: A mola vai querer voltar para o seu comprimento natural
, então se está além de , a mola puxa ela para baixo. - Força da gravidade: Puxa
para baixo com uma força .
Para
:
- Força da mola: Similarmente, se a mola está esticada além de
, ela puxa para cima. - Força da gravidade: Puxa
para baixo com uma força . - Força normal da mesa: A mesa exerce uma força para cima em
para equilibrar as forças.
Passo 3
Vamos assumir que as duas massas vão oscilar em torno de uma posição de equilíbrio. Para encontrar essa posição de equilíbrio, igualamos as forças para cada massa.
Para
:
onde
é a posição de
em relação à posição na qual a mola está em seu comprimento natural.
Para
:
No ponto de equilíbrio, as duas equações devem ser consistentes, então podemos resolver para
.
Passo 4
Igualando as duas equações:
Isso sugere que, para equilíbrio estático, as massas precisariam ser iguais. Como isso não é necessariamente o caso, temos que considerar como as massas interagem dinamicamente.
Passo 5
Em vez de buscar apenas o equilíbrio estático, vamos considerar as acelerções e utilizar as leis de Newton para encontrar as equações de movimento das duas massas.
Para
:
Para
:
onde
é a força normal da mesa em
.
Passo 6
Assumindo que a mesa não se movimenta, a força normal
ajusta-se para equilibrar as outras forças em
. Então:
Agora, se considerarmos
, que é a extensão ou compressão da mola, podemos simplificar as equações.
Passo 7
Substituindo
nas equações de movimento, temos:
Aqui,
é a segunda derivada da posição, ou seja, a aceleração.
Passo 8
Somando as duas equações para eliminar o termo de
, obtemos:
Isso nos dá a aceleração comum das massas.
Passo 9
Agora, considerando que o sistema se comporta como um movimento harmônico simples (MHS) devido à mola, a frequência angular
é dada por:
onde
é a massa efetiva do sistema:
Passo 10
Com a frequência angular
, podemos escrever as soluções para as posições das massas como funções do tempo. Supondo que as massas iniciam a partir de uma posição de equilíbrio deslocada pela velocidade inicial
, temos:
Para
:
Para
:
Onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 11
Aplicando as condições iniciais:
- Em
, tem posição inicial e velocidade . -
está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio.
Isso nos ajuda a determinar as constantes
.
Passo 12
Finalmente, as posições das massas para qualquer instante
são dadas por:
Resposta
As posições das massas para qualquer instante de tempo
são:
Onde
e
é a posição de equilíbrio do sistema. O movimento das massas é harmônico, oscilando sinusoidalmente em torno da posição de equilíbrio com a frequência
.
Exercícios relacionados
Mostre que o impulso tem a mesma unidade de medida do momento linear.
Obtenha a Lagrangiana para uma partícula movendo-se em uma dimensão ao longo do eixo
e sujeita à força
(com
positivo). Determine a equação de Lagrange do movimento e resolva-a.
Determine a geodésica sobre o cone cuja equação em coordenadas cilíndricas é
. [Considere a curva tendo a forma
.] Verifique o seu resultado para o caso em que
.
Considere uma massa
movendo-se em uma rampa, sem atrito, que tem uma declividade com ângulo
com a horizontal. Obtenha a Lagrangiana em termos da coordenada
, medida horizontalmente através da rampa e da coordenada
, medida para baixo da rampa. (Trate o sistema como bidimensional, mas inclua a energia potencial gravitacional.) Determine as duas equações de Lagrange e mostre que elas são o que você esperava.