Duas partículas de massas e estão conectadas por uma mola, de massa desprezível e comprimento natural e com constante de força . Inicialmente, está em repouso sobre a mesa e estou segurando verticalmente acima de a uma altura . No instante , projeto verticalmente para cima com velocidade inicial . Determine a posição das duas massas para qualquer instante de tempo subsequente (antes de qualquer uma das massas retornar à mesa) e descreva o movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo duas partículas com massas e ligadas por uma mola sem massa, que tem um comprimento natural e constante de força . Inicialmente, a massa está parada sobre a mesa, e a massa está segurada verticalmente acima de na altura . No instante , a gente dá um impulso para jogando ela para cima com uma velocidade inicial . A gente precisa descobrir onde as duas massas estarão em qualquer instante de tempo depois disso (antes de qualquer uma delas voltar para a mesa) e descrever como elas se movimentam.
Vamos usar os conceitos de mecânica clássica, especialmente leis de Newton e movimento harmônico simples, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que estão agindo nas duas massas depois que a é projetada para cima.
Para :
  • Força da mola: A mola vai querer voltar para o seu comprimento natural , então se está além de , a mola puxa ela para baixo.
  • Força da gravidade: Puxa para baixo com uma força .
Para :
  • Força da mola: Similarmente, se a mola está esticada além de , ela puxa para cima.
  • Força da gravidade: Puxa para baixo com uma força .
  • Força normal da mesa: A mesa exerce uma força para cima em para equilibrar as forças.

Passo 3

Vamos assumir que as duas massas vão oscilar em torno de uma posição de equilíbrio. Para encontrar essa posição de equilíbrio, igualamos as forças para cada massa.
Para :
onde é a posição de em relação à posição na qual a mola está em seu comprimento natural.
Para :
No ponto de equilíbrio, as duas equações devem ser consistentes, então podemos resolver para .

Passo 4

Igualando as duas equações:
Isso sugere que, para equilíbrio estático, as massas precisariam ser iguais. Como isso não é necessariamente o caso, temos que considerar como as massas interagem dinamicamente.

Passo 5

Em vez de buscar apenas o equilíbrio estático, vamos considerar as acelerções e utilizar as leis de Newton para encontrar as equações de movimento das duas massas.
Para :
Para :
onde é a força normal da mesa em .

Passo 6

Assumindo que a mesa não se movimenta, a força normal ajusta-se para equilibrar as outras forças em . Então:
Agora, se considerarmos , que é a extensão ou compressão da mola, podemos simplificar as equações.

Passo 7

Substituindo nas equações de movimento, temos:
Aqui, é a segunda derivada da posição, ou seja, a aceleração.

Passo 8

Somando as duas equações para eliminar o termo de , obtemos:
Isso nos dá a aceleração comum das massas.

Passo 9

Agora, considerando que o sistema se comporta como um movimento harmônico simples (MHS) devido à mola, a frequência angular é dada por:
onde é a massa efetiva do sistema:

Passo 10

Com a frequência angular , podemos escrever as soluções para as posições das massas como funções do tempo. Supondo que as massas iniciam a partir de uma posição de equilíbrio deslocada pela velocidade inicial , temos:
Para :
í
Para :
í
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 11

Aplicando as condições iniciais:
  • Em , tem posição inicial e velocidade .
  • está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio.
Isso nos ajuda a determinar as constantes .

Passo 12

Finalmente, as posições das massas para qualquer instante são dadas por:
í
í

Resposta

As posições das massas para qualquer instante de tempo são:
í
í
Onde e í é a posição de equilíbrio do sistema. O movimento das massas é harmônico, oscilando sinusoidalmente em torno da posição de equilíbrio com a frequência .

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