Duas partículas de massas m1 e m2 estão conectadas por uma mola, de massa desprezível e comprimento natural L e com constante de força k. Inicialmente, m2 está em repouso sobre a mesa e estou segurando m1 verticalmente acima de m2 a uma altura L. No instante t=0, projeto m1 verticalmente para cima com velocidade inicial Vo. Determine a posição das duas massas para qualquer instante de tempo t subsequente (antes de qualquer uma das massas retornar à mesa) e descreva o movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo duas partículas com massas e ligadas por uma mola sem massa, que tem um comprimento natural e constante de força . Inicialmente, a massa está parada sobre a mesa, e a massa está segurada verticalmente acima de na altura . No instante , a gente dá um impulso para jogando ela para cima com uma velocidade inicial . A gente precisa descobrir onde as duas massas estarão em qualquer instante de tempo depois disso (antes de qualquer uma delas voltar para a mesa) e descrever como elas se movimentam.
Vamos usar os conceitos de mecânica clássica, especialmente leis de Newton e movimento harmônico simples, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que estão agindo nas duas massas depois que a é projetada para cima.
Para :
  • Força da mola: A mola vai querer voltar para o seu comprimento natural , então se está além de , a mola puxa ela para baixo.
  • Força da gravidade: Puxa para baixo com uma força .
Para :
  • Força da mola: Similarmente, se a mola está esticada além de , ela puxa para cima.
  • Força da gravidade: Puxa para baixo com uma força .
  • Força normal da mesa: A mesa exerce uma força para cima em para equilibrar as forças.

Passo 3

Vamos assumir que as duas massas vão oscilar em torno de uma posição de equilíbrio. Para encontrar essa posição de equilíbrio, igualamos as forças para cada massa.
Para k cdot (x - L) = m1 cdot g :
k cdot (x - L) = m2 cdot g
onde é a posição de em relação à posição na qual a mola está em seu comprimento natural.
Para :
No ponto de equilíbrio, as duas equações devem ser consistentes, então podemos resolver para .

Passo 4

Igualando as duas equações:
m1 cdot g = m2 cdot g
Isso sugere que, para equilíbrio estático, as massas precisariam ser iguais. Como isso não é necessariamente o caso, temos que considerar como as massas interagem dinamicamente.

Passo 5

Em vez de buscar apenas o equilíbrio estático, vamos considerar as acelerções e utilizar as leis de Newton para encontrar as equações de movimento das duas massas.
Para m1 cdot a1 = -k cdot (x1 - x2 - L) - m1 cdot g :
m2 cdot a2 = k cdot (x1 - x2 - L) - m2 cdot g + N
Para :
onde é a força normal da mesa em .

Passo 6

Assumindo que a mesa não se movimenta, a força normal N = m2 cdot g - k cdot (x1 - x2 - L) ajusta-se para equilibrar as outras forças em . Então:
Agora, se considerarmos , que é a extensão ou compressão da mola, podemos simplificar as equações.

Passo 7

Substituindo m1 cdot ddotx = -k cdot (x - L) - m1 cdot g nas equações de movimento, temos:
m2 cdot ddotx = k cdot (x - L)
Aqui, é a segunda derivada da posição, ou seja, a aceleração.

Passo 8

Somando as duas equações para eliminar o termo de (m1 + m2) cdot ddotx = -m1 cdot g , obtemos:
ddotx = -m1 cdot gm1 + m2
Isso nos dá a aceleração comum das massas.

Passo 9

Agora, considerando que o sistema se comporta como um movimento harmônico simples (MHS) devido à mola, a frequência angular omega = raizkmeff é dada por:
meff = m1 cdot m2m1 + m2
onde é a massa efetiva do sistema:

Passo 10

Com a frequência angular x1(t) = A cdot cos(omega t) + B cdot sin(omega t) + xequilíbrio , podemos escrever as soluções para as posições das massas como funções do tempo. Supondo que as massas iniciam a partir de uma posição de equilíbrio deslocada pela velocidade inicial x2(t) = C cdot cos(omega t) + D cdot sin(omega t) + xequilíbrio , temos:
Para :
í
Para :
í
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 11

Aplicando as condições iniciais:
  • Em , tem posição inicial e velocidade .
  • está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio.
Isso nos ajuda a determinar as constantes .

Passo 12

Finalmente, as posições das massas para qualquer instante x1(t) = xequilíbrio + V0omega cdot sin(omega t) são dadas por:
x2(t) = xequilíbrio - V0omega cdot sin(omega t) í
í

Resposta

As posições das massas para qualquer instante de tempo x1(t) = xequilíbrio + V0omega cdot sin(omega t) são:
x2(t) = xequilíbrio - V0omega cdot sin(omega t) í
í
Onde e í é a posição de equilíbrio do sistema. O movimento das massas é harmônico, oscilando sinusoidalmente em torno da posição de equilíbrio com a frequência .

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