Determine a geodésica sobre o cone cuja equação em coordenadas cilíndricas é
. [Considere a curva tendo a forma
.] Verifique o seu resultado para o caso em que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que manda o exercício. A gente precisa encontrar a geodésica em um cone cuja equação em coordenadas cilíndricas é
. Uma geodésica é a curva mais curta entre dois pontos numa superfície, tipo a “linha reta” do espaço curvo. A gente vai assumir que a curva tem a forma
, ou seja, o ângulo
depende de
. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e geometria diferencial para trabalhar com as geodésicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a métrica do cone em coordenadas cilíndricas. A métrica nos diz como medir distâncias na superfície. No cone
, a altura
está relacionada ao raio
. Usando cálculo, a métrica fica:
Aqui, simplificamos
.
Passo 3
Agora, queremos achar a geodésica, que minimiza a ação
, dada por:
Para simplificar, podemos minimizar
:
Passo 4
Vamos aplicar as equações de Euler-Lagrange para encontrar a condição de mínimo. A função Lagrangiana é:
A equação de Euler-Lagrange para
é:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral da forma:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais da geodésica.
Passo 6
Agora, vamos verificar o caso quando
. Nesse limite, o cone se aproxima de um plano (
), e a métrica fica:
A equação diferencial para
fica:
A solução geral dessa equação é:
Isso descreve uma linha reta em coordenadas polares, que é exatamente a geodésica (a linha mais curta) no plano.
Resposta
A geodésica sobre o cone
é dada por:
E quando
, a geodésica se simplifica para uma linha reta no plano: