Determine a geodésica sobre o cone cuja equação em coordenadas cilíndricas é z=lambda rho. [Considere a curva tendo a forma phi=phi(rho).] Verifique o seu resultado para o caso em que lambda 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que manda o exercício. A gente precisa encontrar a geodésica em um cone cuja equação em coordenadas cilíndricas é . Uma geodésica é a curva mais curta entre dois pontos numa superfície, tipo a “linha reta” do espaço curvo. A gente vai assumir que a curva tem a forma , ou seja, o ângulo depende de . Para resolver, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e geometria diferencial para trabalhar com as geodésicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a métrica do cone em coordenadas cilíndricas. A métrica nos diz como medir distâncias na superfície. No cone ds^2 = drho^2 + (rho^2 + (lambda rho)^2) dphi^2 = drho^2 + rho^2(1 + lambda^2) dphi^2 , a altura está relacionada ao raio . Usando cálculo, a métrica fica:
Aqui, simplificamos .

Passo 3

Agora, queremos achar a geodésica, que minimiza a ação S = integral raizdrho^2 + rho^2(1 + lambda^2) dphi^2 , dada por:
S^2 = integral ( (drhodphi)^2 + rho^2(1 + lambda^2) ) dphi
Para simplificar, podemos minimizar :

Passo 4

Vamos aplicar as equações de Euler-Lagrange para encontrar a condição de mínimo. A função Lagrangiana é:
L = (drhodphi)^2 + rho^2(1 + lambda^2)
A equação de Euler-Lagrange para ddphi( partial Lpartial (drhodphi) ) - partial Lpartial rho = 0 é:
2d^2rhodphi^2 - 2rho(1 + lambda^2) = 0
Calculando as derivadas:
d^2rhodphi^2 - rho(1 + lambda^2) = 0
Simplificando:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral da forma:
rho(phi) = A cos(raiz1 + lambda^2 phi) + B sin(raiz1 + lambda^2 phi)
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais da geodésica.

Passo 6

Agora, vamos verificar o caso quando ds^2 = drho^2 + rho^2 dphi^2 . Nesse limite, o cone se aproxima de um plano ( d^2rhodphi^2 - rho = 0 ), e a métrica fica:
rho(phi) = A cos(phi) + B sin(phi)
A equação diferencial para fica:
A solução geral dessa equação é:
Isso descreve uma linha reta em coordenadas polares, que é exatamente a geodésica (a linha mais curta) no plano.

Resposta

A geodésica sobre o cone rho(phi) = A cos(raiz1 + lambda^2 phi) + B sin(raiz1 + lambda^2 phi) é dada por:
rho(phi) = A cos(phi) + B sin(phi)
E quando , a geodésica se simplifica para uma linha reta no plano:

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