Determine a geodésica sobre o cone cuja equação em coordenadas cilíndricas é . [Considere a curva tendo a forma .] Verifique o seu resultado para o caso em que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que manda o exercício. A gente precisa encontrar a geodésica em um cone cuja equação em coordenadas cilíndricas é . Uma geodésica é a curva mais curta entre dois pontos numa superfície, tipo a “linha reta” do espaço curvo. A gente vai assumir que a curva tem a forma , ou seja, o ângulo depende de . Para resolver, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e geometria diferencial para trabalhar com as geodésicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a métrica do cone em coordenadas cilíndricas. A métrica nos diz como medir distâncias na superfície. No cone , a altura está relacionada ao raio . Usando cálculo, a métrica fica:
Aqui, simplificamos .

Passo 3

Agora, queremos achar a geodésica, que minimiza a ação , dada por:
Para simplificar, podemos minimizar :

Passo 4

Vamos aplicar as equações de Euler-Lagrange para encontrar a condição de mínimo. A função Lagrangiana é:
A equação de Euler-Lagrange para é:
Calculando as derivadas:
Simplificando:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral da forma:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais da geodésica.

Passo 6

Agora, vamos verificar o caso quando . Nesse limite, o cone se aproxima de um plano ( ), e a métrica fica:
A equação diferencial para fica:
A solução geral dessa equação é:
Isso descreve uma linha reta em coordenadas polares, que é exatamente a geodésica (a linha mais curta) no plano.

Resposta

A geodésica sobre o cone é dada por:
E quando , a geodésica se simplifica para uma linha reta no plano:

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