Considere uma massa
presa a uma mola de constante
(a massa da mola é desprezível). Duas cópias exatamente iguais deste sistema são colocadas cada uma num prato de uma balança. Entretanto, enquanto em um dos pratos a massa está em repouso (e a mola não sofre nenhuma tensão), no outro a massa oscila com amplitude
. Supondo que a balança tem precisão infinita, qual a diferença de massa registrada pela balança?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas massas idênticas presas a molas com constante elástica
. Ambas as massas estão sobre uma balança: em uma das placas, a massa está parada e a mola não está tensionada; na outra, a massa está oscilando com uma certa amplitude
. Queremos descobrir qual é a diferença de massa que a balança vai registrar entre essas duas situações. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de força, energia cinética e potencial em sistemas oscilatórios.
Passo 2
Vamos começar analisando a situação onde a massa está em repouso. Neste caso, a única força que a balança registra é o peso da massa, que é dado por:
onde
é a massa e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, vamos considerar a situação onde a massa está oscilando com amplitude
. Quando a massa oscila, ela possui energia cinética e energia potencial armazenada na mola. A energia total do sistema oscilatório é a soma dessas duas energias:
Essa energia adicional afeta a força que a balança precisa sustentar.
Passo 4
Para encontrar a diferença de massa registrada pela balança, precisamos relacionar a energia do sistema oscilatório com uma variação no peso efetivo. Sabemos que a energia total pode ser associada a uma massa equivalente
através da relação:
onde
é a altura equivalente. Porém, como estamos lidando com oscilações, a energia se traduz em uma variação na força média sobre a balança. Assim, podemos relacionar a energia total com uma variação de peso.
Passo 5
A diferença de força
registrada pela balança devido à oscilação pode ser obtida dividindo a energia total pelo deslocamento característico, que neste caso é a amplitude
:
Essa força adicional pode ser interpretada como uma variação no peso, ou seja, uma diferença de massa
.
Passo 6
Finalmente, para encontrar a diferença de massa
, usamos a relação entre força e massa:
Então, a diferença de massa registrada pela balança quando a massa está oscilando é:
Resposta
A diferença de massa registrada pela balança é
.