Considere uma nave de massa m cuja propulsão se dá pelo efeito de uma força dada por
F=Aa traiz(ta)^2-1
Onde os valores das constantes a e A são ajustados de forma que
a A=m c
e t é o tempo medido na terra (que vamos considerar um referencial inercial). Essa nave parte da terra em t=a e chega em seu destino em t=2 a. Quanto tempo se passou num relógio dentro da nave?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nave espacial de massa que é propulsada por uma força que depende do tempo medido na Terra. As constantes e estão relacionadas pela equação . A nave parte da Terra no tempo e chega ao destino em . Precisamos descobrir quanto tempo passou no relógio dentro da nave.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de relatividade especial, onde o tempo medido dentro da nave (tempo próprio) pode ser diferente do tempo medido na Terra devido aos efeitos da velocidade e aceleração.

Passo 2

Começamos substituindo a relação F(t) = Aa traiz(ta)^2 - 1 = mca^2 traiz(ta)^2 - 1 na expressão da força:
Aqui, substituímos por para simplificar a força em termos de , e .

Passo 3

Sabemos que a força F(t) = m alpha(t) está relacionada à aceleração m alpha(t) = mca^2 traiz(ta)^2 - 1 pela segunda lei de Newton:
alpha(t) = ca^2 traiz(ta)^2 - 1
Portanto, podemos igualar as duas expressões para encontrar a aceleração:
Simplificando dos dois lados:

Passo 4

A aceleração dtaudt = raiz1 - v(t)^2c^2 pode ser relacionada à derivada da velocidade em relação ao tempo. No entanto, como estamos lidando com relatividade, precisamos considerar a dilatação do tempo e a relação entre o tempo na Terra e o tempo próprio na nave.
A relação entre as derivadas é dada por:
Onde é a velocidade da nave em função do tempo na Terra.

Passo 5

Para encontrar v(t) = integral alpha(t) , dt = integral ca^2 traiz(ta)^2 - 1 , dt , integramos a aceleração v(t) = ca^2 integral a uraizu^2 - 1 a , du = ca^2 a^2 integral uraizu^2 - 1 , du = c integral uraizu^2 - 1 , du :
Fazendo a substituição , temos , então :

Passo 6

A integral integral uraizu^2 - 1 , du = 12 integral dwraizw = 12 cdot 2 raizw + C = raizu^2 - 1 + C pode ser resolvida por substituição:
Seja v(t) = c raiz(ta)^2 - 1 + C , então 0 = c raiz1 - 1 + C Rightarrow C = 0 , ou v(t) = c raiz(ta)^2 - 1 .
Portanto:
Voltando a :
Como a nave parte com , determinamos :
Então:

Passo 7

Agora, voltamos à relação entre dtaudt = raiz1 - v(t)^2c^2 = raiz1 - c^2 ( (ta)^2 - 1 )c^2 = raiz1 - (ta)^2 + 1 = raiz2 - (ta)^2 e :

Passo 8

Para encontrar o tempo próprio tau = integrala^2a raiz2 - (ta)^2 , dt , integramos tau = a integral1^2 raiz2 - u^2 , du de a :
Fazendo a substituição , :

Passo 9

A integral integral raiz2 - u^2 , du = u2 raiz2 - u^2 + 22 arcsin(uraiz2) + C é uma integral padrão que resulta em:
tau = a [ u2 raiz2 - u^2 + arcsin(uraiz2) ]1^2
Aplicando os limites de integração:

Passo 10

Calculando nos limites:
Para 22 raiz2 - 4 + arcsin(2raiz2) = raiz-2 + arcsin(raiz2) :
Aqui percebemos que ocorre uma necessidade de reavaliação, já que não é real e também não está definido no conjunto dos números reais. Isso indica que houve um erro na modelagem inicial ou na interpretação física do problema, possivelmente relacionada aos limites de .

Resposta

Houve uma inconsistência na aplicação dos limites de integração, indicando que mais informações ou uma revisão na formulação do problema são necessárias para determinar corretamente o tempo decorrido no relógio da nave.

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