Considere uma nave de massa cuja propulsão se dá pelo efeito de uma força dada por
Onde os valores das constantes e são ajustados de forma que
e é o tempo medido na terra (que vamos considerar um referencial inercial). Essa nave parte da terra em e chega em seu destino em . Quanto tempo se passou num relógio dentro da nave?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nave espacial de massa que é propulsada por uma força que depende do tempo medido na Terra. As constantes e estão relacionadas pela equação . A nave parte da Terra no tempo e chega ao destino em . Precisamos descobrir quanto tempo passou no relógio dentro da nave.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de relatividade especial, onde o tempo medido dentro da nave (tempo próprio) pode ser diferente do tempo medido na Terra devido aos efeitos da velocidade e aceleração.
Passo 2
Começamos substituindo a relação na expressão da força:
Aqui, substituímos por para simplificar a força em termos de , e .
Passo 3
Sabemos que a força está relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton:
Portanto, podemos igualar as duas expressões para encontrar a aceleração:
Simplificando dos dois lados:
Passo 4
A aceleração pode ser relacionada à derivada da velocidade em relação ao tempo. No entanto, como estamos lidando com relatividade, precisamos considerar a dilatação do tempo e a relação entre o tempo na Terra e o tempo próprio na nave.
A relação entre as derivadas é dada por:
Onde é a velocidade da nave em função do tempo na Terra.
Passo 5
Para encontrar , integramos a aceleração :
Fazendo a substituição , temos , então :
Passo 6
A integral pode ser resolvida por substituição:
Seja , então , ou .
Portanto:
Voltando a :
Como a nave parte com , determinamos :
Então:
Passo 7
Agora, voltamos à relação entre e :
Passo 8
Para encontrar o tempo próprio , integramos de a :
Fazendo a substituição , :
Passo 9
A integral é uma integral padrão que resulta em:
Aplicando os limites de integração:
Passo 10
Calculando nos limites:
Para :
Aqui percebemos que ocorre uma necessidade de reavaliação, já que não é real e também não está definido no conjunto dos números reais. Isso indica que houve um erro na modelagem inicial ou na interpretação física do problema, possivelmente relacionada aos limites de .
Resposta
Houve uma inconsistência na aplicação dos limites de integração, indicando que mais informações ou uma revisão na formulação do problema são necessárias para determinar corretamente o tempo decorrido no relógio da nave.