Considere uma nave de massa cuja propulsão se dá pelo efeito de uma força dada por
Onde os valores das constantes e são ajustados de forma que
e é o tempo medido na terra (que vamos considerar um referencial inercial). Essa nave parte da terra em e chega em seu destino em . Quanto tempo se passou num relógio dentro da nave?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nave espacial de massa que é propulsada por uma força que depende do tempo medido na Terra. As constantes e estão relacionadas pela equação . A nave parte da Terra no tempo e chega ao destino em . Precisamos descobrir quanto tempo passou no relógio dentro da nave.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de relatividade especial, onde o tempo medido dentro da nave (tempo próprio) pode ser diferente do tempo medido na Terra devido aos efeitos da velocidade e aceleração.

Passo 2

Começamos substituindo a relação na expressão da força:
Aqui, substituímos por para simplificar a força em termos de , e .

Passo 3

Sabemos que a força está relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton:
Portanto, podemos igualar as duas expressões para encontrar a aceleração:
Simplificando dos dois lados:

Passo 4

A aceleração pode ser relacionada à derivada da velocidade em relação ao tempo. No entanto, como estamos lidando com relatividade, precisamos considerar a dilatação do tempo e a relação entre o tempo na Terra e o tempo próprio na nave.
A relação entre as derivadas é dada por:
Onde é a velocidade da nave em função do tempo na Terra.

Passo 5

Para encontrar , integramos a aceleração :
Fazendo a substituição , temos , então :

Passo 6

A integral pode ser resolvida por substituição:
Seja , então , ou .
Portanto:
Voltando a :
Como a nave parte com , determinamos :
Então:

Passo 7

Agora, voltamos à relação entre e :

Passo 8

Para encontrar o tempo próprio , integramos de a :
Fazendo a substituição , :

Passo 9

A integral é uma integral padrão que resulta em:
Aplicando os limites de integração:

Passo 10

Calculando nos limites:
Para :
Aqui percebemos que ocorre uma necessidade de reavaliação, já que não é real e também não está definido no conjunto dos números reais. Isso indica que houve um erro na modelagem inicial ou na interpretação física do problema, possivelmente relacionada aos limites de .

Resposta

Houve uma inconsistência na aplicação dos limites de integração, indicando que mais informações ou uma revisão na formulação do problema são necessárias para determinar corretamente o tempo decorrido no relógio da nave.

Exercícios relacionados

Considere uma massa presa a uma mola de constante (a massa da mola é desprezível). Duas cópias exatamente iguais deste sistema são colocadas cada uma num prato de uma balança. Entretanto, enquanto em um dos pratos a massa está em repouso (e a mola não sofre nenhuma tensão), no outro a massa oscila com amplitude . Supondo que a balança tem precisão infinita, qual a diferença de massa registrada pela balança?
Considere uma carga em repouso num sistema onde existe um campo elétrico . Sabendo que se move com velocidade com relação ao sistema , determine as forças que agem nesta carga em usando:
A lei de transformação dos campos.
Qual era a energia cinética da partícula alfa quando estava a uma distância muito grande (e, portanto, do lado de fora) do átomo de ouro? Suponha que a única força entre a partícula alfa e o núcleo de ouro é a força eletrostática. R.:
Considere que, num referencial inercial , uma pedra de massa é atirada com velocidade na direção e, ao mesmo tempo, cai sob a ação de uma força constante . Ou seja, o sistema está sob a ação de uma força e com uma velocidade inicial dadas por
Determine a velocidade da pedra (no referencial ).