Obtenha a Lagrangiana para um cilindro (massa m , raio R e momento de inércia I) que rola, sem deslizar, para baixo em uma rampa plana que tem um ângulo
com a horizontal. Use como suas coordenadas generalizadas a distância x do cilindro medida para baixo ao longo da rampa a partir de sua posição inicial. Escreva a equação de Lagrange e resolva-a para a aceleração
. Lembre-se de que
, onde v é a velocidade do centro de massa e
a velocidade angular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a Lagrangiana de um cilindro rolando sem deslizar por uma rampa inclinada. A matéria que estamos lidando aqui é a Mecânica Lagrangiana, que é uma forma de analisar sistemas físicos usando energia ao invés de forças diretamente. Vamos precisar das informações sobre a massa do cilindro (m), o raio ®, o momento de inércia (I), o ângulo da rampa (α), e a relação entre velocidade linear (v) e velocidade angular (ω).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas generalizadas, que no caso é a distância
que o cilindro percorre ao longo da rampa. Essa será a nossa variável para descrever o movimento.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética (K) do sistema. Como o cilindro está rolando sem deslizar, a energia cinética tem duas partes: a movimentação do centro de massa e a rotação ao redor do centro de massa. A fórmula dada é:
Onde:
-
(a velocidade do centro de massa é a derivada de em relação ao tempo) - Como o cilindro não desliza,
, então
Passo 4
Substituindo
na expressão da energia cinética:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a energia potencial (U). Como o cilindro está descendo a rampa inclinada, sua altura muda. A energia potencial é:
Onde
é a altura. Como
, então:
Passo 6
A Lagrangiana (L) é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 7
Agora, vamos usar a Equação de Lagrange, que é:
Primeiro, calculamos
:
Derivando em relação ao tempo:
Agora, calculamos
:
Passo 8
Substituindo na Equação de Lagrange:
Rearranjando para encontrar
:
Mas como estamos considerando a aceleração para baixo, podemos remover o sinal negativo:
Resposta
A aceleração do cilindro é:
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Determine e descreva o caminho
para o qual a integral
é estacionária.
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, onde
. Obtenha a Lagrangiana, usando coordenadas x e y, e determine as duas equações de movimento de Lagrange. Descreva as suas soluções. [Essa é a energia potencial de um ion em uma
Mostre que o caminho
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