Obtenha a Lagrangiana para um cilindro (massa m , raio R e momento de inércia I) que rola, sem deslizar, para baixo em uma rampa plana que tem um ângulo alpha com a horizontal. Use como suas coordenadas generalizadas a distância x do cilindro medida para baixo ao longo da rampa a partir de sua posição inicial. Escreva a equação de Lagrange e resolva-a para a aceleração ddotx. Lembre-se de que K=12 m v^2+12 I omega^2, onde v é a velocidade do centro de massa e omega a velocidade angular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a Lagrangiana de um cilindro rolando sem deslizar por uma rampa inclinada. A matéria que estamos lidando aqui é a Mecânica Lagrangiana, que é uma forma de analisar sistemas físicos usando energia ao invés de forças diretamente. Vamos precisar das informações sobre a massa do cilindro (m), o raio ®, o momento de inércia (I), o ângulo da rampa (α), e a relação entre velocidade linear (v) e velocidade angular (ω).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas generalizadas, que no caso é a distância que o cilindro percorre ao longo da rampa. Essa será a nossa variável para descrever o movimento.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética (K) do sistema. Como o cilindro está rolando sem deslizar, a energia cinética tem duas partes: a movimentação do centro de massa e a rotação ao redor do centro de massa. A fórmula dada é:
K = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Onde:
  • (a velocidade do centro de massa é a derivada de em relação ao tempo)
  • Como o cilindro não desliza, , então

Passo 4

Substituindo K = 12 m dotx^2 + 12 I ( dotxR )^2 = 12 m dotx^2 + 12 IR^2 dotx^2 na expressão da energia cinética:
K = 12 ( m + IR^2 ) dotx^2
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a energia potencial (U). Como o cilindro está descendo a rampa inclinada, sua altura muda. A energia potencial é:
U = m g h
Onde U = m g x sin(alpha) é a altura. Como , então:

Passo 6

A Lagrangiana (L) é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
L = K - U = 12 ( m + IR^2 ) dotx^2 - m g x sin(alpha)

Passo 7

Agora, vamos usar a Equação de Lagrange, que é:
ddt ( partial Lpartial dotx ) - partial Lpartial x = 0
Primeiro, calculamos partial Lpartial dotx = ( m + IR^2 ) dotx :
ddt ( partial Lpartial dotx ) = ( m + IR^2 ) ddotx
Derivando em relação ao tempo:
partial Lpartial x = - m g sin(alpha)
Agora, calculamos :

Passo 8

Substituindo na Equação de Lagrange:
( m + IR^2 ) ddotx + m g sin(alpha) = 0
Rearranjando para encontrar ddotx = - m g sin(alpha)m + IR^2 :
ddotx = m g sin(alpha)m + IR^2
Mas como estamos considerando a aceleração para baixo, podemos remover o sinal negativo:

Resposta

A aceleração do cilindro é:
ddotx = m g sin(alpha)m + IR^2

Exercícios relacionados