Considere uma massa presa na extremidade de uma mola com constante de elasticidade e impelida a mover-se ao longo do eixo horizontal . Se considerarmos a origem na posição de equilibrio da mola, a energia potencial é . No instante a massa está parada na origem e é dado um impulso para a direita de modo que ela se move até um deslocamento máximo , e a seguir, ela começa a oscilar em torno da origem. (a) Escreva a equação para conservação da energia e resolva-a para obter a velocidade da massa em termos da posição e da energia total E.
(b) Mostre que e use este resultado para eliminar da sua expressão para . Use o resultado para determinar o tempo para a massa deslocar-se da origem até a posição . (Valor. 2,0 portos)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma massa presa numa mola com constante elástica , se movendo ao longo do eixo . A energia potencial da mola é . No instante inicial, a massa está parada na origem, recebe um impulso para a direita e alcança um deslocamento máximo , depois começa a oscilar. Vamos precisar usar os conceitos de energia potencial, energia cinética e conservação de energia para resolver as partes (a) e (b).

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). A conservação da energia nos diz que a energia total do sistema permanece constante durante o movimento. A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos isolar a velocidade em termos de e . Vamos rearranjar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo por :
Finalmente, tirando a raiz quadrada:

Passo 4

Pronto, encontramos a expressão para a velocidade em termos da posição e da energia total .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, vamos mostrar que . No ponto de deslocamento máximo , toda a energia é potencial, pois a velocidade é zero ( ). Assim:

Passo 6

Com isso, podemos substituir na expressão da velocidade:

Passo 7

Para encontrar o tempo que a massa leva para ir da origem até a posição , usamos a relação diferencial:

Passo 8

Integrando de 0 até , temos:

Resposta

O tempo para a massa deslocar-se da origem até a posição é:

Exercícios relacionados

Esboce o campo vetorial em pelo menos cinco pontos.
(d)
Um fio condutor possui comprimento igual a e uma seção reta circular com raio igual a . Sabendo que a resistência entre suas extremidades é , determine : (b) a corrente elétrica que passa no fio quando o módulo do campo elétrico em seu interior é .
Um pêndulo consistindo em uma esfera de massa igual a 250 g . pendurado em um prego por um cordão de , é levado até uma altura de 90 cm em relação à sua posição de equilibrio O , mantendo-se o cordão esticado, e então é liberado. Despreze o atrito. Quais são a energia cinética e a velocidade da esfera ao passar pela posição O ?
Suponha que uma salmoura contendo de sal por litro (L) entre em um tanque cheio, com 400 L de água, contendo 2 kg de sal. Se a salmoura entrar a minutos, a mistura é mantida uniforme por agitação, e a mistura flui no mesmo ritmo. Encontre a massa de sal após 10 minutos. (Dica: considere que A indica a quantidade de sal em kg no tanque em t minutos após processo iniciar e use o fato que: taxa de aumento em A =taxa de entrada-taxa de saída).