Considere uma massa
presa na extremidade de uma mola com constante de elasticidade
e impelida a mover-se ao longo do eixo horizontal
. Se considerarmos a origem na posição de equilibrio da mola, a energia potencial é
. No instante
a massa está parada na origem e é dado um impulso para a direita de modo que ela se move até um deslocamento máximo
, e a seguir, ela começa a oscilar em torno da origem. (a) Escreva a equação para conservação da energia e resolva-a para obter a velocidade
da massa em termos da posição
e da energia total E.
(b) Mostre que
e use este resultado para eliminar
da sua expressão para
. Use o resultado para determinar o tempo para a massa deslocar-se da origem até a posição
. (Valor. 2,0 portos)
(b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma massa
presa numa mola com constante elástica
, se movendo ao longo do eixo
. A energia potencial da mola é
. No instante inicial, a massa está parada na origem, recebe um impulso para a direita e alcança um deslocamento máximo
, depois começa a oscilar. Vamos precisar usar os conceitos de energia potencial, energia cinética e conservação de energia para resolver as partes (a) e (b).
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). A conservação da energia nos diz que a energia total
do sistema permanece constante durante o movimento. A energia total é a soma da energia cinética
e da energia potencial
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos isolar a velocidade
em termos de
e
. Vamos rearranjar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo por
:
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
Passo 4
Pronto, encontramos a expressão para a velocidade
em termos da posição
e da energia total
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, vamos mostrar que
. No ponto de deslocamento máximo
, toda a energia é potencial, pois a velocidade é zero (
). Assim:
Passo 6
Com isso, podemos substituir
na expressão da velocidade:
Passo 7
Para encontrar o tempo que a massa leva para ir da origem até a posição
, usamos a relação diferencial:
Passo 8
Integrando de 0 até
, temos:
Resposta
O tempo para a massa deslocar-se da origem até a posição
é:
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(d)
(d)
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