Considere uma massa m presa na extremidade de uma mola com constante de elasticidade k e impelida a mover-se ao longo do eixo horizontal x. Se considerarmos a origem na posição de equilibrio da mola, a energia potencial é 12 k x^2. No instante t=0 a massa está parada na origem e é dado um impulso para a direita de modo que ela se move até um deslocamento máximo xmax =A, e a seguir, ela começa a oscilar em torno da origem. (a) Escreva a equação para conservação da energia e resolva-a para obter a velocidade dotx da massa em termos da posição x e da energia total E.
(b) Mostre que E=12 k A^2 e use este resultado para eliminar E da sua expressão para dotx. Use o resultado para determinar o tempo para a massa deslocar-se da origem até a posição x. (Valor. 2,0 portos)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma massa presa numa mola com constante elástica , se movendo ao longo do eixo . A energia potencial da mola é . No instante inicial, a massa está parada na origem, recebe um impulso para a direita e alcança um deslocamento máximo , depois começa a oscilar. Vamos precisar usar os conceitos de energia potencial, energia cinética e conservação de energia para resolver as partes (a) e (b).

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). A conservação da energia nos diz que a energia total E = 12 m dotx^2 + 12 k x^2 do sistema permanece constante durante o movimento. A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos isolar a velocidade 12 m dotx^2 = E - 12 k x^2 em termos de m dotx^2 = 2E - k x^2 e dotx^2 = 2Em - km x^2 . Vamos rearranjar a equação:
dotx = raiz2Em - km x^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo por :
Finalmente, tirando a raiz quadrada:

Passo 4

Pronto, encontramos a expressão para a velocidade em termos da posição e da energia total .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, vamos mostrar que E = 12 k A^2 . No ponto de deslocamento máximo , toda a energia é potencial, pois a velocidade é zero ( ). Assim:

Passo 6

Com isso, podemos substituir dotx = raiz2 cdot 12 k A^2m - km x^2 = raizk A^2m - km x^2 = raizkm (A^2 - x^2) na expressão da velocidade:

Passo 7

Para encontrar o tempo que a massa leva para ir da origem até a posição dt = dxdotx = dxraizkm (A^2 - x^2) = raizmk dxraizA^2 - x^2 , usamos a relação diferencial:

Passo 8

Integrando de 0 até t = raizmk integral0^x dxraizA^2 - x^2 = raizmk arcsin(xA) , temos:

Resposta

O tempo para a massa deslocar-se da origem até a posição t = raizmk arcsin(xA) é:

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