Suponha que uma salmoura contendo de sal por litro (L) entre em um tanque cheio, com 400 L de água, contendo 2 kg de sal. Se a salmoura entrar a minutos, a mistura é mantida uniforme por agitação, e a mistura flui no mesmo ritmo. Encontre a massa de sal após 10 minutos. (Dica: considere que A indica a quantidade de sal em kg no tanque em t minutos após processo iniciar e use o fato que: taxa de aumento em A =taxa de entrada-taxa de saída).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! Temos um tanque com 400 litros de água que já contém 2 kg de sal. Aí, entra uma salmoura com 0,3 kg de sal por litro a uma taxa de 10 litros por minuto. A mistura é bem mexida, então o sal fica distribuído de forma igual no tanque. Ao mesmo tempo, a mistura sai do tanque na mesma velocidade de 10 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir quanto sal vai ter no tanque depois de 10 minutos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxa de variação da quantidade de sal no tanque ao longo do tempo. Precisamos saber a taxa de entrada de sal e a taxa de saída de sal. A diferença entre essas taxas nos dará a variação total de sal no tanque a cada instante de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir A(t) como a quantidade de sal (em kg) no tanque no tempo t (em minutos). A taxa de variação de A em relação ao tempo, ou seja, dA/dt, será igual à taxa de entrada menos a taxa de saída.

Passo 3

Taxa de entrada de sal:
A salmoura que está entrando tem uma concentração de 0,3 kg de sal por litro e está entrando a uma taxa de 10 litros por minuto. Então, a quantidade de sal que entra por minuto é:

Passo 4

Taxa de saída de sal:
A mistura está sendo mexida de forma uniforme, então a concentração de sal na saída é igual à concentração atual no tanque, que é A(t)/400 kg/L (já que o volume total é sempre 400 litros). A mistura está saindo a 10 litros por minuto, então a taxa de saída de sal é:
í

Passo 5

Agora, colocando tudo junto, a equação diferencial que descreve a taxa de variação de sal no tanque é:
í

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar A(t). Vamos rearranjá-la:
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante μ(t) é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pela μ(t):
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a t:

Passo 9

Resolvendo para A(t):
Agora, usamos a condição inicial para encontrar C. Sabemos que no tempo t = 0, A(0) = 2 kg.

Passo 10

Substituindo C de volta na equação de A(t):

Passo 11

Agora, queremos encontrar a quantidade de sal após 10 minutos, ou seja, A(10):
Calculando o valor de :
Então:

Resposta

Após 10 minutos, a massa de sal no tanque é de aproximadamente 28,18 kg.

Exercícios relacionados

Um pêndulo consistindo em uma esfera de massa igual a 250 g . pendurado em um prego por um cordão de , é levado até uma altura de 90 cm em relação à sua posição de equilibrio O , mantendo-se o cordão esticado, e então é liberado. Despreze o atrito. Quais são a energia cinética e a velocidade da esfera ao passar pela posição O ?
Considere uma massa presa na extremidade de uma mola com constante de elasticidade e impelida a mover-se ao longo do eixo horizontal . Se considerarmos a origem na posição de equilibrio da mola, a energia potencial é . No instante a massa está parada na origem e é dado um impulso para a direita de modo que ela se move até um deslocamento máximo , e a seguir, ela começa a oscilar em torno da origem. (a) Escreva a equação para conservação da energia e resolva-a para obter a velocidade da massa em termos da posição e da energia total E.
(b) Mostre que e use este resultado para eliminar da sua expressão para . Use o resultado para determinar o tempo para a massa deslocar-se da origem até a posição . (Valor. 2,0 portos)
O bloco 1 , de massa , e o bloco 2 , de massa , estão ligados por um fio de massa desprezível e são inicialmente mantidos em repouso. O bloco 2 está sobre uma superfície sem atrito com uma inclinação . O coeficiente de atrito cinético entre o bloco 1 e a superfície horizontal é 0,35 . A polia tem massa e atrito desprezíveis. Ao serem liberados, os blocos entram em movimento.
(a) Desenhe o diagrama de corpo livre indicando as forças atuantes e escreva as equações correspondentes.
O bloco 1 , de massa , e o bloco 2 , de massa , estão ligados por um fio de massa desprezível e são inicialmente mantidos em repouso. O bloco 2 está sobre uma superfície sem atrito com uma inclinação . O coeficiente de atrito cinético entre o bloco 1 e a superfície horizontal é 0,35 . A polia tem massa e atrito desprezíveis. Ao serem liberados, os blocos entram em movimento.
(b) Qual a aceleração do sistema?