Suponha que uma salmoura contendo
de sal por litro (L) entre em um tanque cheio, com 400 L de água, contendo 2 kg de sal. Se a salmoura entrar a
minutos, a mistura é mantida uniforme por agitação, e a mistura flui no mesmo ritmo. Encontre a massa de sal após 10 minutos. (Dica: considere que A indica a quantidade de sal em kg no tanque em t minutos após processo iniciar e use o fato que: taxa de aumento em A =taxa de entrada-taxa de saída).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! Temos um tanque com 400 litros de água que já contém 2 kg de sal. Aí, entra uma salmoura com 0,3 kg de sal por litro a uma taxa de 10 litros por minuto. A mistura é bem mexida, então o sal fica distribuído de forma igual no tanque. Ao mesmo tempo, a mistura sai do tanque na mesma velocidade de 10 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir quanto sal vai ter no tanque depois de 10 minutos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxa de variação da quantidade de sal no tanque ao longo do tempo. Precisamos saber a taxa de entrada de sal e a taxa de saída de sal. A diferença entre essas taxas nos dará a variação total de sal no tanque a cada instante de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir A(t) como a quantidade de sal (em kg) no tanque no tempo t (em minutos). A taxa de variação de A em relação ao tempo, ou seja, dA/dt, será igual à taxa de entrada menos a taxa de saída.
Passo 3
Taxa de entrada de sal:
A salmoura que está entrando tem uma concentração de 0,3 kg de sal por litro e está entrando a uma taxa de 10 litros por minuto. Então, a quantidade de sal que entra por minuto é:
Passo 4
Taxa de saída de sal:
A mistura está sendo mexida de forma uniforme, então a concentração de sal na saída é igual à concentração atual no tanque, que é A(t)/400 kg/L (já que o volume total é sempre 400 litros). A mistura está saindo a 10 litros por minuto, então a taxa de saída de sal é:
Passo 5
Agora, colocando tudo junto, a equação diferencial que descreve a taxa de variação de sal no tanque é:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar A(t). Vamos rearranjá-la:
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante μ(t) é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pela μ(t):
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a t:
Passo 9
Resolvendo para A(t):
Agora, usamos a condição inicial para encontrar C. Sabemos que no tempo t = 0, A(0) = 2 kg.
Passo 10
Substituindo C de volta na equação de A(t):
Passo 11
Agora, queremos encontrar a quantidade de sal após 10 minutos, ou seja, A(10):
Calculando o valor de
:
Então:
Resposta
Após 10 minutos, a massa de sal no tanque é de aproximadamente 28,18 kg.