Suponha que uma salmoura contendo 0,3 kg de sal por litro (L) entre em um tanque cheio, com 400 L de água, contendo 2 kg de sal. Se a salmoura entrar a 10 L / minutos, a mistura é mantida uniforme por agitação, e a mistura flui no mesmo ritmo. Encontre a massa de sal após 10 minutos. (Dica: considere que A indica a quantidade de sal em kg no tanque em t minutos após processo iniciar e use o fato que: taxa de aumento em A =taxa de entrada-taxa de saída).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! Temos um tanque com 400 litros de água que já contém 2 kg de sal. Aí, entra uma salmoura com 0,3 kg de sal por litro a uma taxa de 10 litros por minuto. A mistura é bem mexida, então o sal fica distribuído de forma igual no tanque. Ao mesmo tempo, a mistura sai do tanque na mesma velocidade de 10 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir quanto sal vai ter no tanque depois de 10 minutos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxa de variação da quantidade de sal no tanque ao longo do tempo. Precisamos saber a taxa de entrada de sal e a taxa de saída de sal. A diferença entre essas taxas nos dará a variação total de sal no tanque a cada instante de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir A(t) como a quantidade de sal (em kg) no tanque no tempo t (em minutos). A taxa de variação de A em relação ao tempo, ou seja, dA/dt, será igual à taxa de entrada menos a taxa de saída.

Passo 3

Taxa de entrada de sal:
A salmoura que está entrando tem uma concentração de 0,3 kg de sal por litro e está entrando a uma taxa de 10 litros por minuto. Então, a quantidade de sal que entra por minuto é:
Taxa de entrada = 0,3 , kg/L times 10 , L/min = 3 , kg/min

Passo 4

Taxa de saída de sal:
A mistura está sendo mexida de forma uniforme, então a concentração de sal na saída é igual à concentração atual no tanque, que é A(t)/400 kg/L (já que o volume total é sempre 400 litros). A mistura está saindo a 10 litros por minuto, então a taxa de saída de sal é:
Taxa de saída = A(t)400 , kg/L times 10 , L/min = A(t)40 , kg/min í

Passo 5

Agora, colocando tudo junto, a equação diferencial que descreve a taxa de variação de sal no tanque é:
dAdt = Taxa de entrada - Taxa de saída = 3 - A(t)40 í

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar A(t). Vamos rearranjá-la:
dAdt + A40 = 3
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante μ(t) é dado por:
mu(t) = e^integral 140 dt = e^t40

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pela μ(t):
e^t40 dAdt + e^t40 A40 = 3 e^t40
Isso simplifica para:
ddt ( A e^t40 ) = 3 e^t40

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a t:
A e^t40 = integral 3 e^t40 dt + C
A e^t40 = 120 e^t40 + C

Passo 9

Resolvendo para A(t):
A(t) = 120 + C e^-t40
Agora, usamos a condição inicial para encontrar C. Sabemos que no tempo t = 0, A(0) = 2 kg.
2 = 120 + C e^0 Rightarrow 2 = 120 + C Rightarrow C = -118

Passo 10

Substituindo C de volta na equação de A(t):
A(t) = 120 - 118 e^-t40

Passo 11

Agora, queremos encontrar a quantidade de sal após 10 minutos, ou seja, A(10):
A(10) = 120 - 118 e^-1040 = 120 - 118 e^-0,25
Calculando o valor de e^-0,25 approx 0,7788 :
A(10) = 120 - 118 times 0,7788 approx 120 - 91,82 = 28,18 , kg
Então:

Resposta

Após 10 minutos, a massa de sal no tanque é de aproximadamente 28,18 kg.

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