Um pêndulo consistindo em uma esfera de massa igual a 250 g . pendurado em um prego por um cordão de 2,70 m, é levado até uma altura H de 90 cm em relação à sua posição de equilibrio O , mantendo-se o cordão esticado, e então é liberado. Despreze o atrito. Quais são a energia cinética e a velocidade da esfera ao passar pela posição O ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um pêndulo que consiste em uma esfera de massa 250 g pendurada por um cordão de 2,70 metros. Ele é levantado até uma altura de 90 cm acima da posição de equilíbrio e depois é solto. A gente quer descobrir qual é a energia cinética e a velocidade da esfera quando ela passa pela posição O (equilíbrio). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia potencial gravitacional, energia cinética e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Massa (m): 250 g = 0,250 kg
  • Altura (H): 90 cm = 0,90 m

Passo 3

Quando a esfera está na altura máxima (90 cm acima da posição de equilíbrio), toda a energia que ela tem é energia potencial gravitacional. A fórmula para calcular essa energia é:
Ep = m cdot g cdot H
Onde:
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade (≈ 9,81 m/s²),
  • é a altura.

Passo 4

Vamos calcular a energia potencial na altura máxima:
Ep = 0,250 , kg times 9,81 , m/s² times 0,90 , m = 2,2065 , J ²

Passo 5

No ponto mais baixo (posição O), toda essa energia potencial é convertida em energia cinética, já que estamos desprezando o atrito. A fórmula para a energia cinética é:
Ek = 12 m v² ²
Onde:
  • é a energia cinética,
  • é a massa,
  • é a velocidade.

Passo 6

Como a energia é conservada, podemos igualar a energia potencial inicial à energia cinética na posição O:
m cdot g cdot H = 12 m v² ²
Perceba que a massa g cdot H = 12 v² aparece nos dois lados da equação e pode ser cancelada:
²

Passo 7

Vamos isolar v² = 2 cdot g cdot H para encontrar a velocidade:
v = raiz2 cdot g cdot H ²

Passo 8

Agora, substituímos os valores na equação para encontrar v = raiz2 times 9,81 , m/s² times 0,90 , m = raiz17,658 approx 4,20 , m/s :
²

Resposta

A energia cinética da esfera ao passar pela posição O é aproximadamente 2,21 J e a velocidade nessa posição é cerca de 4,20 m/s.

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