Considere um material hipotético que tenha um diâmetro de grão de 2,1×
. Após um tratamento térmico a
durante 3 horas, o diâmetro de grão aumentou para
. Calcule o diâmetro de grão quando uma amostra desse mesmo material original (isto é,
) é aquecida durante 1,7 hora a
. Considere que o expoente para o diâmetro de grão
possui um valor de 2 .
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. Temos um material com um diâmetro de grão inicial de
mm. Depois de ser aquecido a
por 3 horas, o diâmetro de grão aumentou para
mm. Agora, queremos descobrir qual será o diâmetro de grão quando esse mesmo material for aquecido por 1,7 horas na mesma temperatura. Para isso, vamos usar a teoria do crescimento de grãos, que relaciona o diâmetro de grão com o tempo de aquecimento através de uma equação com um expoente
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula que relaciona o diâmetro de grão com o tempo de aquecimento. A equação básica para o crescimento de grãos é:
Onde:
-
é o diâmetro de grão após o aquecimento. -
é o diâmetro de grão inicial. -
é uma constante que depende do material e das condições de aquecimento. -
é o tempo de aquecimento. -
é o expoente que caracteriza o tipo de crescimento (nesse caso, ).
Passo 3
Sabemos que após 3 horas de aquecimento, o diâmetro de grão passou de
mm para
mm. Vamos usar esses valores para encontrar a constante
.
Substituindo na equação:
Passo 4
Vamos dividir os dois lados da equação por
para isolar o termo com
:
Calculando a divisão:
Passo 5
Agora, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Passo 6
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 7
Agora, dividimos ambos os lados por 3 para encontrar
:
Passo 8
Com o valor de
encontrado, podemos usar a equação original para encontrar o diâmetro de grão após 1,7 horas de aquecimento. A equação é:
Passo 9
Calculando o termo dentro do parênteses:
Passo 10
Elevando ao quadrado:
Passo 11
Multiplicando pelo diâmetro inicial:
Resposta
O diâmetro de grão após 1,7 horas de aquecimento a
será aproximadamente
mm.