Considere um material hipotético que tenha um diâmetro de grão de 2,1× 10^-2 mm. Após um tratamento térmico a 600^circ C durante 3 horas, o diâmetro de grão aumentou para 7,2 times 10^-2 mm. Calcule o diâmetro de grão quando uma amostra desse mesmo material original (isto é, d0=2,1 times 10^-2 mm ) é aquecida durante 1,7 hora a 600^circ C. Considere que o expoente para o diâmetro de grão n possui um valor de 2 .

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. Temos um material com um diâmetro de grão inicial de mm. Depois de ser aquecido a por 3 horas, o diâmetro de grão aumentou para mm. Agora, queremos descobrir qual será o diâmetro de grão quando esse mesmo material for aquecido por 1,7 horas na mesma temperatura. Para isso, vamos usar a teoria do crescimento de grãos, que relaciona o diâmetro de grão com o tempo de aquecimento através de uma equação com um expoente .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que relaciona o diâmetro de grão com o tempo de aquecimento. A equação básica para o crescimento de grãos é:
d = d0 (1 + kt)^n
Onde:
  • é o diâmetro de grão após o aquecimento.
  • é o diâmetro de grão inicial.
  • é uma constante que depende do material e das condições de aquecimento.
  • é o tempo de aquecimento.
  • é o expoente que caracteriza o tipo de crescimento (nesse caso, ).

Passo 3

Sabemos que após 3 horas de aquecimento, o diâmetro de grão passou de 7,2 times 10^-2 = 2,1 times 10^-2 (1 + k times 3)^2 mm para mm. Vamos usar esses valores para encontrar a constante .
Substituindo na equação:

Passo 4

Vamos dividir os dois lados da equação por 7,2 times 10^-22,1 times 10^-2 = (1 + 3k)^2 para isolar o termo com 7,22,1 = (1 + 3k)^2 :
3,4286 approx (1 + 3k)^2
Calculando a divisão:

Passo 5

Agora, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para raiz3,4286 = 1 + 3k :
1,851 = 1 + 3k

Passo 6

Subtraindo 1 de ambos os lados:
1,851 - 1 = 3k
0,851 = 3k

Passo 7

Agora, dividimos ambos os lados por 3 para encontrar k = 0,8513 approx 0,2837 :

Passo 8

Com o valor de d = 2,1 times 10^-2 (1 + 0,2837 times 1,7)^2 encontrado, podemos usar a equação original para encontrar o diâmetro de grão após 1,7 horas de aquecimento. A equação é:

Passo 9

Calculando o termo dentro do parênteses:
1 + 0,2837 times 1,7 = 1 + 0,4823 = 1,4823

Passo 10

Elevando ao quadrado:
(1,4823)^2 approx 2,1979

Passo 11

Multiplicando pelo diâmetro inicial:
d = 2,1 times 10^-2 times 2,1979 approx 4,6166 times 10^-2 , mm

Resposta

O diâmetro de grão após 1,7 horas de aquecimento a será aproximadamente mm.

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