To the Lagrangian density for the scalar charged meson, Eq. (13.94), add the following term to represent the interaction with an electromagnetic field:
where
What are the field equations for
and
? What happens to the conserved currents and associated conservation theorems?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente tomar a densidade lagrangiana de um méson escalar carregado e adicionar um termo que representa a interação com um campo eletromagnético. Basicamente, precisamos encontrar as equações de campo para as funções
e
após essa interação e ver o que acontece com as correntes conservadas e os teoremas de conservação associados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de campos, especialmente as equações de Euler-Lagrange, que nos ajudam a derivar as equações de movimento a partir da lagrangiana.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a densidade lagrangiana total,
, que é a soma da lagrangiana original do méson escalar e o termo de interação com o campo eletromagnético. A lagrangiana original para um méson escalar carregado geralmente é dada por:
Agora, adicionamos o termo de interação fornecido no enunciado:
onde
Então, a densidade lagrangiana total fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar as equações de campo para
e
usando as equações de Euler-Lagrange. A equação de Euler-Lagrange para um campo complexo
é:
Vamos calcular cada termo para
:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Diferencial com respeito a
:
Agora, substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Fazendo o mesmo para
, obtemos:
Então, as equações de campo resultantes são:
e
Passo 4
Agora, vamos falar sobre as correntes conservadas e os teoremas de conservação. Inicialmente, sem o termo de interação, a lagrangiana tem uma simetria de fase global, o que leva à conservação da corrente
graças ao teorema de Noether. Esse teorema diz que para cada simetria contínua da lagrangiana, existe uma corrente conservada.
Contudo, ao adicionar o termo de interação
, introduzimos uma interação com o campo eletromagnético que pode quebrar a simetria global original, especialmente se o campo
não for invariante sob a transformação de fase. Isso pode levar à não conservação da corrente original
, já que o campo eletromagnético pode fornecer ou absorver carga.
Assim, os teoremas de conservação associados à corrente
original podem não se manter devido à presença do termo de interação que altera a dinâmica da corrente.
Resposta
Após adicionar o termo de interação, as equações de campo para
e
são:
e
Além disso, a corrente conservada original
pode não ser mais conservada devido à interação com o campo eletromagnético, o que implica que os teoremas de conservação associados a essa corrente podem não se aplicar na nova configuração.
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