To the Lagrangian density for the scalar charged meson, Eq. (13.94), add the following term to represent the interaction with an electromagnetic field:
j^lambda Alambda
where
jlambda=i(phi phi, lambda^*-phi, lambda phi^*)
What are the field equations for phi and phi^* ? What happens to the conserved currents and associated conservation theorems?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente tomar a densidade lagrangiana de um méson escalar carregado e adicionar um termo que representa a interação com um campo eletromagnético. Basicamente, precisamos encontrar as equações de campo para as funções phi e phi^* após essa interação e ver o que acontece com as correntes conservadas e os teoremas de conservação associados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de campos, especialmente as equações de Euler-Lagrange, que nos ajudam a derivar as equações de movimento a partir da lagrangiana.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a densidade lagrangiana total, L, que é a soma da lagrangiana original do méson escalar e o termo de interação com o campo eletromagnético. A lagrangiana original para um méson escalar carregado geralmente é dada por:
L0 = partialmuphi^* partial^muphi - m^2 phi^*phi
Agora, adicionamos o termo de interação fornecido no enunciado:
Linteração = j^lambda Alambda çã
onde
jlambda = i(phi partiallambda phi^* - phi^* partiallambda phi)
Então, a densidade lagrangiana total fica:
L = partialmuphi^* partial^muphi - m^2 phi^*phi + i(phi partiallambda phi^* - phi^* partiallambda phi) A^lambda

Passo 3

Agora, vamos derivar as equações de campo para phi e phi^* usando as equações de Euler-Lagrange. A equação de Euler-Lagrange para um campo complexo phi é:
partial Lpartial phi - partialmu ( partial Lpartial (partialmu phi) ) = 0
Vamos calcular cada termo para phi:
  1. Derivada parcial de L em relação a phi:
partial Lpartial phi = -m^2 phi^* + i A^lambda partiallambda phi^*
  1. Derivada parcial de L em relação a partialmu phi:
partial Lpartial (partialmu phi) = partial^mu phi^* - i A^mu phi^*
  1. Diferencial com respeito a mu:
partialmu ( partial Lpartial (partialmu phi) ) = partialmu partial^mu phi^* - i (partialmu A^mu) phi^* - i A^mu partialmu phi^*
Agora, substituindo na equação de Euler-Lagrange:
-m^2 phi^* + i A^lambda partiallambda phi^* - ( partialmu partial^mu phi^* - i (partialmu A^mu) phi^* - i A^mu partialmu phi^* ) = 0
Simplificando:
partialmu partial^mu phi^* + m^2 phi^* - i (partialmu A^mu) phi^* = 0
Fazendo o mesmo para phi^*, obtemos:
partialmu partial^mu phi + m^2 phi + i (partialmu A^mu) phi = 0
Então, as equações de campo resultantes são:
partialmu partial^mu phi^* + m^2 phi^* - i (partialmu A^mu) phi^* = 0
e
partialmu partial^mu phi + m^2 phi + i (partialmu A^mu) phi = 0

Passo 4

Agora, vamos falar sobre as correntes conservadas e os teoremas de conservação. Inicialmente, sem o termo de interação, a lagrangiana tem uma simetria de fase global, o que leva à conservação da corrente jlambda = i(phi partiallambda phi^* - phi^* partiallambda phi) graças ao teorema de Noether. Esse teorema diz que para cada simetria contínua da lagrangiana, existe uma corrente conservada.
Contudo, ao adicionar o termo de interação j^lambda Alambda, introduzimos uma interação com o campo eletromagnético que pode quebrar a simetria global original, especialmente se o campo Alambda não for invariante sob a transformação de fase. Isso pode levar à não conservação da corrente original jlambda, já que o campo eletromagnético pode fornecer ou absorver carga.
Assim, os teoremas de conservação associados à corrente jlambda original podem não se manter devido à presença do termo de interação que altera a dinâmica da corrente.

Resposta

Após adicionar o termo de interação, as equações de campo para phi e phi^* são:
partialmu partial^mu phi^* + m^2 phi^* - i (partialmu A^mu) phi^* = 0
e
partialmu partial^mu phi + m^2 phi + i (partialmu A^mu) phi = 0
Além disso, a corrente conservada original jlambda pode não ser mais conservada devido à interação com o campo eletromagnético, o que implica que os teoremas de conservação associados a essa corrente podem não se aplicar na nova configuração.

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