Um corpo de prova cilíndrico de uma dada liga metálica, com 10 mm de diâmetro, é tensionado elasticamente em tração. Uma força de 15.000 N produz uma redução no diâmetro do corpo de prova de 7 times 10^-3 mm. Calcule o coeficiente de Poisson para esse material se o seu módulo de elasticidade é 100 GPa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo de prova cilíndrico de uma liga metálica com 10 mm de diâmetro que está sendo puxado (tração) com uma força de 15.000 N. Essa força faz o diâmetro diminuir um pouquinho, exatamente 7 times 10^-3 mm. Nosso objetivo aqui é calcular o coeficiente de Poisson desse material, sabendo que o módulo de elasticidade é de 100 GPa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão axial ( sigma) que está sendo aplicada no corpo de prova. A tensão é definida como a força dividida pela área da seção transversal. A fórmula é:
sigma = FA
Onde:
  • F é a força aplicada (15.000 N)
  • A é a área da seção transversal do cilindro
Como o cilindro tem diâmetro de 10 mm, o raio ( r) é 5 mm ou 0,005 m. A área da seção transversal é:
A = pi r^2 = pi (0,005)^2 = pi times 0,000025 = 0,0000785 , m^2
Então, a tensão axial fica:
sigma = 15.0000,0000785 approx 1.910.828,99 , Pa , (ou , 1,91 , MPa)

Passo 3

Agora, vamos calcular a deformação axial ( epsilon) usando o módulo de elasticidade ( E). A relação entre tensão e deformação é dada por:
epsilon = sigmaE
Aqui, o módulo de elasticidade é 100 GPa, que em Pascal fica:
E = 100 times 10^9 , Pa
Então, substituindo:
epsilon = 1.910.828,99100 times 10^9 = 1,9108 times 10^-5

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a deformação transversal ( epsilont), que é a mudança relativa no diâmetro. A deformação transversal é dada por:
epsilont = De
Onde:
  • De é a redução no diâmetro ( 7 times 10^-3 mm = 7 times 10^-6 m)
  • d é o diâmetro original (10 mm = 0,01 m)
Então:
epsilont = 7 times 10^-60,01 = 7 times 10^-4

Passo 5

Por fim, vamos calcular o coeficiente de Poisson ( nu), que relaciona a deformação transversal com a deformação axial:
nu = -epsilontepsilon
Substituindo os valores que encontramos:
nu = -7 times 10^-41,9108 times 10^-5 approx -36,58

Resposta

O coeficiente de Poisson para esse material é aproximadamente −36,58.

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