Considere um material semicondutor com a energia de Fermi no centro da banda proibida. Calcule a probabilidade de que um estado na parte inferior da banda de condução esteja preenchido a uma temperatura igual a 310 K , considerando os seguintes valores para a largura da banda proibida:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre semicondutores onde a energia de Fermi está no meio da banda proibida. A gente precisa calcular a probabilidade de que um estado na parte inferior da banda de condução esteja preenchido a uma temperatura de 310 K. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística de Fermi-Dirac, que descreve a distribuição de elétrons nesses materiais. Vamos precisar também da fórmula da distribuição de Fermi-Dirac e entender como a energia de Fermi se relaciona com a largura da banda proibida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da distribuição de Fermi-Dirac, que nos dá a probabilidade de ocupação de um estado de energia f(E) = 11 + exp(E - EFkT) por um elétron a uma temperatura :
Aqui:
  • é a energia de Fermi.
  • é a constante de Boltzmann ( ).
  • é a temperatura em Kelvin.

Passo 3

No nosso caso, a energia de Fermi EC = EF + Eg2 está no centro da banda proibida. Isso significa que a energia da banda de condução está acima de por metade da largura da banda proibida :
Portanto, a diferença de energia entre a banda de condução e o nível de Fermi é .

Passo 4

Agora, queremos a probabilidade de ocupação de um estado na banda de condução, ou seja, f(EC) = 11 + exp(EC - EFkT) = 11 + exp(Eg2kT) . Substituindo na fórmula da distribuição de Fermi-Dirac:

Passo 5

Para calcular essa probabilidade, precisamos dos valores numéricos da largura da banda proibida e da temperatura . Você mencionou que há valores específicos para , então vamos supor que seja, por exemplo, 1.12 eV (um valor típico para o silício). A temperatura é 310 K.

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula:
f(EC) = 11 + exp(1.12 , eV/28.617 times 10^-5 , eV/K times 310 , K)
Calculando o expoente primeiro:
1.12 / 28.617 times 10^-5 times 310 = 0.560.02675 approx 20.91
Então:
f(EC) = 11 + e^20.91 approx 11 + 1.35 times 10^9 approx 7.4 times 10^-10

Resposta

A probabilidade de que um estado na parte inferior da banda de condução esteja preenchido a 310 K é aproximadamente .

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