Considere uma matriz A3 times 3 e responda:
(b) Se det(A)=7 e B é uma matriz obtida de A pela permutação da primeira linha com a terceira linha, qual é o valor de det(B) ? Resp.: 7

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido: temos uma matriz A de tamanho 3 times 3 com determinante igual a 7. A matriz B é formada ao trocar a primeira linha com a terceira linha de A. Queremos descobrir qual é o valor de det(B). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre determinantes e como operações nas linhas da matriz afetam o determinante.

Passo 2

Primeiro, o que é o determinante? O determinante de uma matriz é um número que nos dá informações importantes sobre a matriz, como por exemplo, se ela é invertível. Para uma matriz 3 times 3, o determinante é calculado usando uma fórmula específica, mas o que precisamos saber aqui são as propriedades do determinante quando manipulamos as linhas da matriz.

Passo 3

Uma propriedade fundamental dos determinantes é que trocar duas linhas de uma matriz altera o sinal do determinante. Isso quer dizer que, se a matriz original tem determinante d, após trocar duas linhas, o determinante será -d.

Passo 4

No nosso problema, estamos trocando a primeira linha com a terceira linha de A para formar B. Essa é uma única troca de linhas, então aplicando a propriedade que mencionamos:
det(B) = -det(A)
Sabemos que det(A) = 7, então substituindo na equação:
det(B) = -7

Resposta

Portanto, det(B) = -7.

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