Dados três vetores não nulos
em
. Suponha que o ângulo entre
e
é igual ao ângulo entre
e
. Mostre que
é ortogonal ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos três vetores não nulos:
,
e
no espaço tridimensional
. A questão diz que o ângulo entre
e
é igual ao ângulo entre
e
. Queremos mostrar que o vetor
é perpendicular (ou ortogonal) a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produtos escalares de vetores e propriedades de ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, lembremos que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, queremos provar que:
Vamos expandir esse produto usando a propriedade distributiva do produto escalar.
Passo 3
Aplicando a distributiva, temos:
Agora, vamos utilizar a fórmula do produto escalar em termos do cosseno do ângulo entre os vetores.
Passo 4
Sabemos que:
onde
é o ângulo comum entre
e
e também entre
e
.
Passo 5
Substituindo essas expressões na equação anterior:
As duas parcelas se cancelam, resultando em zero.
Resposta
Portanto, mostramos que
é ortogonal ao vetor
, já que o produto escalar entre eles é zero.