Dados três vetores não nulos u, v, w em R^3. Suponha que o ângulo entre u e w é igual ao ângulo entre v e w. Mostre que w é ortogonal ao vetor |v| u-|u| v.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos três vetores não nulos: u, v e w no espaço tridimensional R^3. A questão diz que o ângulo entre u e w é igual ao ângulo entre v e w. Queremos mostrar que o vetor | v | u - | u | v é perpendicular (ou ortogonal) a w. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produtos escalares de vetores e propriedades de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, lembremos que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, queremos provar que:
w cdot (| v | u - | u | v) = 0
Vamos expandir esse produto usando a propriedade distributiva do produto escalar.

Passo 3

Aplicando a distributiva, temos:
w cdot (| v | u) - w cdot (| u | v) = | v | (w cdot u) - | u | (w cdot v)
Agora, vamos utilizar a fórmula do produto escalar em termos do cosseno do ângulo entre os vetores.

Passo 4

Sabemos que:
w cdot u = | w | | u | cos(theta) w cdot v = | w | | v | cos(theta)
onde theta é o ângulo comum entre u e w e também entre v e w.

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação anterior:
| v | (| w | | u | cos(theta)) - | u | (| w | | v | cos(theta)) = | w | | u | | v | cos(theta) - | w | | u | | v | cos(theta) = 0
As duas parcelas se cancelam, resultando em zero.

Resposta

Portanto, mostramos que w é ortogonal ao vetor | v | u - | u | v, já que o produto escalar entre eles é zero.

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