Dados os vetores
e
,
a) determinar o vetor
de modo que
b) encontrar os números
e
tais que
.
a) determinar o vetor
b) encontrar os números
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! A gente tem três vetores:
,
e
. O exercício tem duas partes:
a) Encontrar o vetor
que satisfaz a equação
.
b) Encontrar os números
,
e
tais que
.
Vamos precisar saber como manipular equações com vetores e resolver sistemas de equações lineares. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar pela parte a). A ideia é isolar o vetor
na equação dada. Primeiro, escrevemos a equação:
Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Para isolar
, vamos levar todos os termos que contêm
para um lado da equação e os outros termos para o outro lado. Vamos subtrair
de ambos os lados:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos isolar
. Subtraímos
de ambos os lados:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por 3:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
E
:
Passo 6
Agora, somamos os vetores:
Vamos somar componente a componente:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Então:
Passo 7
Dividindo por 3 para encontrar
:
Passo 8
Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar os coeficientes
,
e
que satisfazem:
Isso significa que:
Passo 9
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, somamos componente a componente:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Passo 10
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 11
Primeiro, da equação 3:
Vamos substituir
nas equações 1 e 2.
Passo 12
Substituindo
na equação 1:
Podemos simplificar dividindo por 3:
Passo 13
Substituindo
e
na equação 2:
Passo 14
Agora, encontramos
. Vamos achar
e
:
E:
Resposta
a) O vetor
é
.
b) Os números são
,
e
.
Exercícios relacionados
Dados três vetores não nulos
em
. Suponha que o ângulo entre
e
é igual ao ângulo entre
e
. Mostre que
é ortogonal ao vetor
.
Mostre o que se pede abaixo
- (b) Calcule
, onde
Considere uma matriz
e responda:
(b) e
é uma matriz obtida de
pela permutação da primeira linha com a terceira linha, qual é o valor de
? Resp.: 7
(b)
Achar a matriz aumentada de cada um dos sistemas e resolvê-lo:
(a)
(a)