Dados os vetores u=(2,3,-1), v=(1,-1,1) e w=(-3,4,0),
a) determinar o vetor x de modo que 3 u-v+x=4 x+2 w
b) encontrar os números a1, a2 e a3 tais que a1 u+a2 v+a3 w=(-2,13,-5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! A gente tem três vetores: u = (2,3,-1), v = (1,-1,1) e w = (-3,4,0). O exercício tem duas partes:
a) Encontrar o vetor x que satisfaz a equação 3 u - v + x = 4 x + 2 w.
b) Encontrar os números a1, a2 e a3 tais que a1 u + a2 v + a3 w = (-2,13,-5).
Vamos precisar saber como manipular equações com vetores e resolver sistemas de equações lineares. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pela parte a). A ideia é isolar o vetor x na equação dada. Primeiro, escrevemos a equação:
3 u - v + x = 4 x + 2 w
Nosso objetivo é encontrar x.

Passo 3

Para isolar x, vamos levar todos os termos que contêm x para um lado da equação e os outros termos para o outro lado. Vamos subtrair x de ambos os lados:
3 u - v = 4 x - x + 2 w
Simplificando:
3 u - v = 3 x + 2 w

Passo 4

Agora, vamos isolar 3 x. Subtraímos 2 w de ambos os lados:
3 u - v - 2 w = 3 x
Para encontrar x, dividimos ambos os lados por 3:
x = 13 (3 u - v - 2 w)

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Primeiro, calculamos 3 u:
3 u = 3 times (2,3,-1) = (6,9,-3)
Depois, calculamos - v:
- v = -1 times (1,-1,1) = (-1,1,-1)
E -2 w:
-2 w = -2 times (-3,4,0) = (6,-8,0)

Passo 6

Agora, somamos os vetores:
3 u - v - 2 w = (6,9,-3) + (-1,1,-1) + (6,-8,0)
Vamos somar componente a componente:
  • Componente x: 6 -1 +6 = 11
  • Componente y: 9 +1 -8 = 2
  • Componente z: -3 -1 +0 = -4
Então:
3 u - v - 2 w = (11,2,-4)

Passo 7

Dividindo por 3 para encontrar x:
x = 13 (11,2,-4) = (113, 23, -43)

Passo 8

Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar os coeficientes a1, a2 e a3 que satisfazem:
a1 u + a2 v + a3 w = (-2,13,-5)
Isso significa que:
a1(2,3,-1) + a2(1,-1,1) + a3(-3,4,0) = (-2,13,-5)

Passo 9

Vamos distribuir os coeficientes:
(2a1, 3a1, -a1) + (a2, -a2, a2) + (-3a3, 4a3, 0) = (-2,13,-5)
Agora, somamos componente a componente:
  • Componente x: 2a1 + a2 -3a3 = -2
  • Componente y: 3a1 - a2 +4a3 = 13
  • Componente z: -a1 + a2 +0 = -5

Passo 10

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
  1. 2a1 + a2 -3a3 = -2
  2. 3a1 - a2 +4a3 = 13
  3. -a1 + a2 = -5
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 11

Primeiro, da equação 3:
- a1 + a2 = -5 Rightarrow a2 = a1 -5
Vamos substituir a2 nas equações 1 e 2.

Passo 12

Substituindo a2 = a1 -5 na equação 1:
2a1 + (a1 -5) -3a3 = -2 3a1 -5 -3a3 = -2 3a1 -3a3 = 3 (adição de 5 em ambos os lados) çã
Podemos simplificar dividindo por 3:
a1 - a3 = 1 Rightarrow a1 = a3 +1

Passo 13

Substituindo a2 = a1 -5 e a1 = a3 +1 na equação 2:
3(a3 +1) - (a3 +1 -5) +4a3 = 13 3a3 +3 - a3 -1 +5 +4a3 = 13 (3a3 -a3 +4a3) + (3 -1 +5) = 13 6a3 +7 = 13 6a3 = 6 a3 =1

Passo 14

Agora, encontramos a3 =1. Vamos achar a1 e a2:
a1 = a3 +1 =1 +1=2
E:
a2 = a1 -5 =2 -5 = -3

Resposta

a) O vetor x é (dfrac113,, dfrac23,, -dfrac43).
b) Os números são a1 = 2, a2 = -3 e a3 = 1.

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