Considere uma matriz que define uma transformaçāo linear: . Mostre que é gerada pelas colunas de .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz de dimensão que define uma transformação linear de para . O objetivo é mostrar que a imagem de , denotada por , é gerada (ou seja, é o mesmo que o espaço gerado) pelas colunas de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa a imagem de uma transformação linear, e como as colunas da matriz estão relacionadas a essa imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é definida por uma matriz de tamanho . Isso significa que para qualquer vetor , a transformação é o produto matricial .
Aqui, é um vetor de dimensão , e resulta em um vetor de dimensão .

Passo 3

A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor em . Em outras palavras,

Passo 4

Agora, vamos analisar o produto . Se a matriz tem colunas , então:
Isso porque o produto matricial distribui os componentes do vetor pelas colunas de .

Passo 5

Isso mostra que qualquer vetor na imagem de pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de . Portanto, o conjunto imagem de é exatamente o espaço gerado pelas colunas de .

Resposta

A imagem de é gerada pelas colunas de , ou seja,
ç

Exercícios relacionados

Mostre que
o conjunto dos números complexos é um espaço vetorial, com as operações definidas abaixo:
Encontre uma base para e nas seguintes transformaçōes lineares:
dada por ;
Encontre a inversa de cada matriz abaixo:
a.
Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
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