Considere uma matriz
que define uma transformaçāo linear:
. Mostre que
é gerada pelas colunas de
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz
de dimensão
que define uma transformação linear
de
para
. O objetivo é mostrar que a imagem de
, denotada por
, é gerada (ou seja, é o mesmo que o espaço gerado) pelas colunas de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa a imagem de uma transformação linear, e como as colunas da matriz
estão relacionadas a essa imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
é definida por uma matriz
de tamanho
. Isso significa que para qualquer vetor
, a transformação
é o produto matricial
.
Aqui,
é um vetor de dimensão
, e
resulta em um vetor de dimensão
.
Passo 3
A imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando a transformação
a algum vetor em
. Em outras palavras,
Passo 4
Agora, vamos analisar o produto
. Se a matriz
tem colunas
, então:
Isso porque o produto matricial distribui os componentes do vetor
pelas colunas de
.
Passo 5
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de
pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de
. Portanto, o conjunto imagem de
é exatamente o espaço gerado pelas colunas de
.
Resposta
A imagem de
é gerada pelas colunas de
, ou seja,
Exercícios relacionados
Mostre que
o conjunto dos números complexos é um espaço vetorial, com as operações definidas abaixo:
Encontre uma base para
e
nas seguintes transformaçōes lineares:
dada por
;
Encontre a inversa de cada matriz abaixo:
a.
a.
Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.