Considere uma matriz A=(ai j)m times n que define uma transformaçāo linear: TA: R^n longrightarrow R^m. Mostre que Im(TA) é gerada pelas colunas de A.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz de dimensão que define uma transformação linear de para . O objetivo é mostrar que a imagem de , denotada por , é gerada (ou seja, é o mesmo que o espaço gerado) pelas colunas de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa a imagem de uma transformação linear, e como as colunas da matriz estão relacionadas a essa imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é definida por uma matriz de tamanho . Isso significa que para qualquer vetor , a transformação é o produto matricial .
Aqui, é um vetor de dimensão , e resulta em um vetor de dimensão .

Passo 3

A imagem de Im(TA) = Ax mid x in R^n , , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor em . Em outras palavras,

Passo 4

Agora, vamos analisar o produto Ax = x1 A1 + x2 A2 + ldots + xn An . Se a matriz tem colunas , então:
Isso porque o produto matricial distribui os componentes do vetor pelas colunas de .

Passo 5

Isso mostra que qualquer vetor na imagem de pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de . Portanto, o conjunto imagem de é exatamente o espaço gerado pelas colunas de .

Resposta

A imagem de Im(TA) = Espaço >=rado pelas colunas de A é gerada pelas colunas de , ou seja,
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