Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a seguinte questão sobre matrizes quadradas. O enunciado diz: “Se A e B são matrizes simétricas, então A B é simétrico.” A gente precisa descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas e propriedades da transposição de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
.
Passo 3
Agora, queremos saber se o produto de duas matrizes simétricas
e
também é simétrico. Para isso, vamos calcular a transposta do produto
.
Passo 4
A regra de transposição de produtos de matrizes diz que
. Como
e
são simétricas, temos que
e
. Então:
Passo 5
Para
ser simétrico, precisamos que
. Substituindo, temos:
Isso significa que
e
precisam comutar, ou seja,
.
Passo 6
No entanto, nem todas as matrizes simétricas comutam. Vamos ver um contra-exemplo para ilustrar isso.
Passo 7
Considere as seguintes matrizes simétricas:
Ambas são simétricas porque
e
.
Passo 8
Vamos calcular
e
:
Claramente,
.
Resposta
Falso. Existe pelo menos um exemplo de matrizes simétricas
e
onde
não é simétrico.