Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
f) Se A e B são matrizes simétricas, então A B é simétrico ãéãéé

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a seguinte questão sobre matrizes quadradas. O enunciado diz: “Se A e B são matrizes simétricas, então A B é simétrico.” A gente precisa descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas e propriedades da transposição de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, .

Passo 3

Agora, queremos saber se o produto de duas matrizes simétricas e também é simétrico. Para isso, vamos calcular a transposta do produto .

Passo 4

A regra de transposição de produtos de matrizes diz que (A B)^T = B A . Como e são simétricas, temos que e . Então:

Passo 5

Para A B = B A ser simétrico, precisamos que . Substituindo, temos:
Isso significa que e precisam comutar, ou seja, .

Passo 6

No entanto, nem todas as matrizes simétricas comutam. Vamos ver um contra-exemplo para ilustrar isso.

Passo 7

Considere as seguintes matrizes simétricas:
A = 0 & 1 1 & 0 , B = 1 & 0 0 & -1
Ambas são simétricas porque e .

Passo 8

Vamos calcular A B = 0 & 1 1 & 0 1 & 0 0 & -1 = 0 & -1 1 & 0 e B A = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 = 0 & 1 -1 & 0 :
Claramente, .

Resposta

Falso. Existe pelo menos um exemplo de matrizes simétricas e onde não é simétrico.

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