Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas. ãéãéé

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a seguinte questão sobre matrizes quadradas. O enunciado diz: "Se A e B são matrizes simétricas, então A B é simétrico." A gente precisa descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas e propriedades da transposição de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, .

Passo 3

Agora, queremos saber se o produto de duas matrizes simétricas e também é simétrico. Para isso, vamos calcular a transposta do produto .

Passo 4

A regra de transposição de produtos de matrizes diz que . Como e são simétricas, temos que e . Então:

Passo 5

Para ser simétrico, precisamos que . Substituindo, temos: Isso significa que e precisam comutar, ou seja, .

Passo 6

No entanto, nem todas as matrizes simétricas comutam. Vamos ver um contra-exemplo para ilustrar isso.

Passo 7

Considere as seguintes matrizes simétricas: Ambas são simétricas porque e .

Passo 8

Vamos calcular e : Claramente, .

Resposta

Falso. Existe pelo menos um exemplo de matrizes simétricas e onde não é simétrico.

Exercícios relacionados

Encontre a inversa de cada matriz abaixo: a.
Considere uma matriz que define uma transformaçāo linear: . Mostre que é gerada pelas colunas de .
Seja definida por , onde Mostre que é linear;
Seja um número natural e considere a matriz Sabendo-se que , determine . Resposta.: