Encontre uma base para e nas seguintes transformaçōes lineares: dada por ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para a Imagem de T () e o Núcleo de T () de uma transformação linear definida por .
Aqui, vamos usar conceitos de transformações lineares, imagem (imagem de uma transformação linear) e núcleo. A imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de , e o núcleo de é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a imagem de T (). Para isso, precisamos verificar quais vetores podemos obter ao aplicar a qualquer vetor em .
Aplicando :
Observamos que, para qualquer , o resultado de é um vetor onde as duas componentes são iguais. Portanto, qualquer vetor na imagem de tem a forma , onde .
Então, a imagem de é o conjunto de todos os vetores em .
Passo 3
Agora, vamos identificar uma base para . Sabemos que consiste em vetores da forma . Podemos escrever isso como:
Isso significa que todo vetor na imagem de é um múltiplo escalar do vetor . Logo, a base para é o conjunto que contém apenas esse vetor:
Passo 4
Agora vamos encontrar o núcleo de T (). O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero por :
Ou seja:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo a equação , temos:
Portanto, todo vetor no núcleo de pode ser escrito como:
Isso mostra que o núcleo é composto por todos os múltiplos escalares do vetor .
Passo 6
Então, a base para é o conjunto que contém apenas esse vetor: