Encontre uma base para Im(T) e N(T) nas seguintes transformaçōes lineares:
T: R^2 longrightarrow R^2 dada por T(x, y)=(x+y, x+y);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para a Imagem de T ( ) e o Núcleo de T ( ) de uma transformação linear definida por .
Aqui, vamos usar conceitos de transformações lineares, imagem (imagem de uma transformação linear) e núcleo. A imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de , e o núcleo de é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a imagem de T ( T(x, y) = (x + y, x + y) ). Para isso, precisamos verificar quais vetores podemos obter ao aplicar a qualquer vetor em .
Aplicando :
Observamos que, para qualquer , o resultado de é um vetor onde as duas componentes são iguais. Portanto, qualquer vetor na imagem de tem a forma , onde .
Então, a imagem de é o conjunto de todos os vetores em .

Passo 3

Agora, vamos identificar uma base para (a, a) = a cdot (1, 1) . Sabemos que , (1, 1) , consiste em vetores da forma . Podemos escrever isso como:
Isso significa que todo vetor na imagem de é um múltiplo escalar do vetor . Logo, a base para é o conjunto que contém apenas esse vetor:

Passo 4

Agora vamos encontrar o núcleo de T ( T(x, y) = (0, 0) ). O núcleo é o conjunto de todos os vetores (x + y, x + y) = (0, 0) em x + y = 0 que são mapeados para o vetor zero por :
Ou seja:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo a equação y = -x , temos:
(x, -x) = x cdot (1, -1)
Portanto, todo vetor no núcleo de pode ser escrito como:
Isso mostra que o núcleo é composto por todos os múltiplos escalares do vetor .

Passo 6

Então, a base para , (1, -1) , é o conjunto que contém apenas esse vetor:

Resposta

Uma base para �� e uma base para é .

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