Encontre uma base para
e
nas seguintes transformaçōes lineares:
dada por
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para a Imagem de T (
) e o Núcleo de T (
) de uma transformação linear
definida por
.
Aqui, vamos usar conceitos de transformações lineares, imagem (imagem de uma transformação linear) e núcleo. A imagem de
é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a qualquer vetor de
, e o núcleo de
é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a imagem de T (
). Para isso, precisamos verificar quais vetores podemos obter ao aplicar
a qualquer vetor
em
.
Aplicando
:
Observamos que, para qualquer
, o resultado de
é um vetor onde as duas componentes são iguais. Portanto, qualquer vetor na imagem de
tem a forma
, onde
.
Então, a imagem de
é o conjunto de todos os vetores
em
.
Passo 3
Agora, vamos identificar uma base para
. Sabemos que
consiste em vetores da forma
. Podemos escrever isso como:
Isso significa que todo vetor na imagem de
é um múltiplo escalar do vetor
. Logo, a base para
é o conjunto que contém apenas esse vetor:
Passo 4
Agora vamos encontrar o núcleo de T (
). O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero por
:
Ou seja:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo a equação
, temos:
Portanto, todo vetor no núcleo de
pode ser escrito como:
Isso mostra que o núcleo é composto por todos os múltiplos escalares do vetor
.
Passo 6
Então, a base para
é o conjunto que contém apenas esse vetor:
Resposta
Uma base para
��
e uma base para
é
.