Encontre uma base para e nas seguintes transformaçōes lineares:
dada por ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para a Imagem de T ( ) e o Núcleo de T ( ) de uma transformação linear definida por .
Aqui, vamos usar conceitos de transformações lineares, imagem (imagem de uma transformação linear) e núcleo. A imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de , e o núcleo de é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a imagem de T ( ). Para isso, precisamos verificar quais vetores podemos obter ao aplicar a qualquer vetor em .
Aplicando :
Observamos que, para qualquer , o resultado de é um vetor onde as duas componentes são iguais. Portanto, qualquer vetor na imagem de tem a forma , onde .
Então, a imagem de é o conjunto de todos os vetores em .

Passo 3

Agora, vamos identificar uma base para . Sabemos que consiste em vetores da forma . Podemos escrever isso como:
Isso significa que todo vetor na imagem de é um múltiplo escalar do vetor . Logo, a base para é o conjunto que contém apenas esse vetor:

Passo 4

Agora vamos encontrar o núcleo de T ( ). O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero por :
Ou seja:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo a equação , temos:
Portanto, todo vetor no núcleo de pode ser escrito como:
Isso mostra que o núcleo é composto por todos os múltiplos escalares do vetor .

Passo 6

Então, a base para é o conjunto que contém apenas esse vetor:

Resposta

Uma base para �� e uma base para é .

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