Mostre que
V=C=a+b i: a, b in R e i^2=-1
o conjunto dos números complexos é um espaço vetorial, com as operações definidas abaixo:
z1+z2 & =(a1+a2)+(b1+b2) i ; z1, z2 in C lambda z1 & =lambda a1+lambda b1 i ; z1, in C, lambda in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o conjunto dos números complexos, definido por z1 + z2 &= (a1 + a2) + (b1 + b2)i lambda z1 &= lambda a1 + lambda b1i , é um espaço vetorial. Isso significa que precisamos verificar se satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial. Para isso, vamos usar operações de soma e multiplicação por escalar que já estão definidas:
Vamos precisar lembrar das axiomas de um espaço vetorial, que são um conjunto de propriedades que devem ser satisfeitas para que um conjunto, junto com suas operações, forme um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (neste caso, os números reais ) é um conjunto de vetores que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalares do campo, obedecendo a certos axiomas, como a comutatividade da soma, existência de um elemento neutro, etc.
Agora, vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto com as operações definidas.

Passo 3

1. Comutatividade da soma:
Queremos mostrar que z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i .
Calculando:
z2 + z1 = (a2 + a1) + (b2 + b1)i
Como a soma de números reais é comutativa ( e ), então .

Passo 4

2. Associatividade da soma:
Queremos mostrar que (z1 + z2) + z3 = [(a1 + a2) + (b1 + b2)i] + (a3 + b3i) = (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3)i) .
Calculando o lado esquerdo:
z1 + (z2 + z3) = (a1 + b1i) + [(a2 + a3) + (b2 + b3)i] = (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3)i)
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados resultam na mesma expressão, a associatividade é satisfeita.

Passo 5

3. Elemento neutro da soma:
Precisamos encontrar um elemento z1 + z0 = (a1 + 0) + (b1 + 0)i = a1 + b1i = z1 tal que para todo .
Escolhemos .
Então:
Portanto, o elemento neutro existe e é .

Passo 6

4. Elemento inverso da soma:
Para cada z1 + z-1 = (a1 - a1) + (b1 - b1)i = 0 + 0i = z0 , precisamos encontrar um tal que , onde é o elemento neutro.
Escolhemos .
Então:
Assim, todo elemento possui um inverso aditivo.

Passo 7

5. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores:
Queremos mostrar que lambda(z1 + z2) = lambda[(a1 + a2) + (b1 + b2)i] = lambda(a1 + a2) + lambda(b1 + b2)i = (lambda a1 + lambda a2) + (lambda b1 + lambda b2)i .
Calculando o lado esquerdo:
lambda z1 + lambda z2 = (lambda a1 + lambda b1i) + (lambda a2 + lambda b2i) = (lambda a1 + lambda a2) + (lambda b1 + lambda b2)i
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, a distributividade é validada.

Passo 8

6. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares:
Queremos mostrar que (lambda + mu) z1 = (lambda + mu)(a1 + b1i) = (lambda + mu)a1 + (lambda + mu)b1i = lambda a1 + mu a1 + lambda b1i + mu b1i , onde lambda z1 + mu z1 = (lambda a1 + lambda b1i) + (mu a1 + mu b1i) = lambda a1 + mu a1 + lambda b1i + mu b1i .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Ambos os lados são iguais, então a distributividade é satisfeita.

Passo 9

7. Associação da multiplicação escalar:
Queremos mostrar que lambda (mu z1) = lambda (mu a1 + mu b1i) = lambda mu a1 + lambda mu b1i .
Calculando o lado esquerdo:
(lambda mu) z1 = (lambda mu)(a1 + b1i) = lambda mu a1 + lambda mu b1i
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a propriedade de associação da multiplicação escalar é válida.

Passo 10

8. Identidade da multiplicação escalar:
Precisamos mostrar que 1 cdot z1 = 1 cdot (a1 + b1i) = 1 cdot a1 + 1 cdot b1i = a1 + b1i = z1 , onde é o elemento neutro da multiplicação escalar.
Calculando:
Portanto, a identidade da multiplicação escalar é satisfeita.

Resposta

Concluímos que o conjunto dos números complexos com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas é, de fato, um espaço vetorial sobre os números reais.

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