o conjunto dos números complexos é um espaço vetorial, com as operações definidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o conjunto dos números complexos, definido por , é um espaço vetorial. Isso significa que precisamos verificar se satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial. Para isso, vamos usar operações de soma e multiplicação por escalar que já estão definidas:
Vamos precisar lembrar das axiomas de um espaço vetorial, que são um conjunto de propriedades que devem ser satisfeitas para que um conjunto, junto com suas operações, forme um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (neste caso, os números reais ) é um conjunto de vetores que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalares do campo, obedecendo a certos axiomas, como a comutatividade da soma, existência de um elemento neutro, etc.
Agora, vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto com as operações definidas.
Passo 3
1. Comutatividade da soma:
Queremos mostrar que .
Calculando:
Como a soma de números reais é comutativa ( e ), então .
Passo 4
2. Associatividade da soma:
Queremos mostrar que .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados resultam na mesma expressão, a associatividade é satisfeita.
Passo 5
3. Elemento neutro da soma:
Precisamos encontrar um elemento tal que para todo .
Escolhemos .
Então:
Portanto, o elemento neutro existe e é .
Passo 6
4. Elemento inverso da soma:
Para cada , precisamos encontrar um tal que , onde é o elemento neutro.
Escolhemos .
Então:
Assim, todo elemento possui um inverso aditivo.
Passo 7
5. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores:
Queremos mostrar que .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, a distributividade é validada.
Passo 8
6. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares:
Queremos mostrar que , onde .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Ambos os lados são iguais, então a distributividade é satisfeita.
Passo 9
7. Associação da multiplicação escalar:
Queremos mostrar que .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a propriedade de associação da multiplicação escalar é válida.
Passo 10
8. Identidade da multiplicação escalar:
Precisamos mostrar que , onde é o elemento neutro da multiplicação escalar.
Calculando:
Portanto, a identidade da multiplicação escalar é satisfeita.
Resposta
Concluímos que o conjunto dos números complexos com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas é, de fato, um espaço vetorial sobre os números reais.