Dada a matriz
determine os autovalores e autovetores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores primeiro e depois usar esses valores para descobrir os autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica da matriz, que é dada por:
Aqui,
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Vamos montar essa equação para a matriz
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Então, o determinante fica:
Passo 4
Agora, temos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos a equação
, onde
é o autovetor.
Para
:
A equação fica:
Isso nos dá a relação:
Podemos escolher
, então:
Para
:
A equação fica:
Isso nos dá a relação:
Podemos escolher
, então:
Resposta
Os autovalores de
são
e
. Os autovetores correspondentes são:
Exercícios relacionados
Resolva o sistema nas incógnitas
e
.
Dada a matriz
encontre os autovalores e autovetores de
.
Se os vetores
e
são tais que
e
são L.I.,
e
são L.D. e
e
são L.D., mostre que
.
Considere a matriz
Calcule os autovalores e autovetores de
.