Dada a matriz
determine os autovalores e autovetores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores primeiro e depois usar esses valores para descobrir os autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica da matriz, que é dada por:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Vamos montar essa equação para a matriz .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Então, o determinante fica:

Passo 4

Agora, temos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos a equação , onde é o autovetor.
Para :
A equação fica:
Isso nos dá a relação:
Podemos escolher , então:
Para :
A equação fica:
Isso nos dá a relação:
Podemos escolher , então:

Resposta

Os autovalores de são e . Os autovetores correspondentes são:

Exercícios relacionados

Resolva o sistema nas incógnitas e .
Dada a matriz
encontre os autovalores e autovetores de .
Se os vetores e são tais que e são L.I., e são L.D. e e são L.D., mostre que .
Considere a matriz
Calcule os autovalores e autovetores de .