Dada a matriz
B=(cc 4 & -2 1 & 1 )
determine os autovalores e autovetores de B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da matriz 4 & -2 1 & 1 . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores primeiro e depois usar esses valores para descobrir os autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Autovalores são os valores de det(B - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica da matriz, que é dada por:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Vamos montar essa equação para a matriz .

Passo 3

Vamos calcular B - lambda I = 4 & -2 1 & 1 - lambda 1 & 0 0 & 1 = 4 - lambda & -2 1 & 1 - lambda :
det(B - lambda I) = (4 - lambda)(1 - lambda) - (-2)(1) = (4 - lambda)(1 - lambda) + 2
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
(4 - lambda)(1 - lambda) = 4 cdot 1 - 4lambda - lambda cdot 1 + lambda^2 = 4 - 5lambda + lambda^2
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
4 - 5lambda + lambda^2 + 2 = lambda^2 - 5lambda + 6
Então, o determinante fica:

Passo 4

Agora, temos a equação característica:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de lambda = 5 pm raiz(-5)^2 - 4 cdot 1 cdot 62 cdot 1 = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12 :
lambda1 = 5 + 12 = 3 e lambda2 = 5 - 12 = 2
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora que temos os autovalores B - 3I = 4 - 3 & -2 1 & 1 - 3 = 1 & -2 1 & -2 e 1 & -2 1 & -2 v1 v2 = 0 0 , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada v1 - 2v2 = 0 Rightarrow v1 = 2v2 , resolvemos a equação v = 2 1 , onde B - 2I = 4 - 2 & -2 1 & 1 - 2 = 2 & -2 1 & -1 é o autovetor.
Para 2 & -2 1 & -1 v1 v2 = 0 0 :
2v1 - 2v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
A equação fica:
v = 1 1
Isso nos dá a relação:
Podemos escolher , então:
Para :
A equação fica:
Isso nos dá a relação:
Podemos escolher , então:

Resposta

Os autovalores de v1 = 2 1 para lambda1 = 3 são v2 = 1 1 para lambda2 = 2 e . Os autovetores correspondentes são:

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