Considere a matriz
Determine para quais valores de
a matriz
admite autovalores complexos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma matriz
que depende do ângulo
e queremos descobrir para quais valores de
essa matriz tem autovalores complexos. O conteúdo que a gente vai usar aqui é o de autovalores e autovetores de matrizes, e vamos precisar entender como calcular o discriminante da equação característica para identificar se os autovalores são complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de uma matriz
, a gente resolve a equação característica:
Onde
é o determinante,
são os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Expandindo o quadrado:
Então, o determinante fica:
Passo 6
Sabemos que (Identidade trigonométrica fundamental). Portanto, a equação característica é:
Passo 7
Agora, para saber se os autovalores são complexos, precisamos olhar o discriminante dessa equação quadrática, que é dado por:
Aqui,
,
e
. Então,
Passo 8
Simplificando o discriminante:
Então,
Passo 9
Para os autovalores serem complexos, o discriminante
precisa ser negativo:
Passo 10
Como é sempre não negativo (porque é um quadrado), multiplicando por -4, a inequação será sempre verdadeira, exceto quando .
Então, os autovalores serão complexos para todos os valores de
onde .
Resposta
A matriz
admite autovalores complexos para todos os valores de
onde , ou seja, para todos os
diferentes de múltiplos de
.