Considere a matriz
A=(cc cos theta & -sen theta sen theta & cos theta ) De
Determine para quais valores de theta a matriz A admite autovalores complexos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma matriz que depende do ângulo e queremos descobrir para quais valores de essa matriz tem autovalores complexos. O conteúdo que a gente vai usar aqui é o de autovalores e autovetores de matrizes, e vamos precisar entender como calcular o discriminante da equação característica para identificar se os autovalores são complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de uma matriz det(A - lambda I) = 0 , a gente resolve a equação característica:
Onde é o determinante, são os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = cos theta - lambda & -sen theta sen theta & cos theta - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 5

Expandindo o quadrado:
(cos theta - lambda)^2 = cos^2 theta - 2 cos theta lambda + lambda^2
Então, o determinante fica:

Passo 6

Sabemos que (Identidade trigonométrica fundamental). Portanto, a equação característica é:
lambda^2 - 2 cos theta lambda + 1 = 0

Passo 7

Agora, para saber se os autovalores são complexos, precisamos olhar o discriminante dessa equação quadrática, que é dado por:
De
Aqui, De, e . Então,

Passo 8

Simplificando o discriminante:
Então,

Passo 9

Para os autovalores serem complexos, o discriminante De precisa ser negativo:

Passo 10

Como é sempre não negativo (porque é um quadrado), multiplicando por -4, a inequação será sempre verdadeira, exceto quando .
Então, os autovalores serão complexos para todos os valores de onde .

Resposta

A matriz admite autovalores complexos para todos os valores de onde , ou seja, para todos os diferentes de múltiplos de .

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