Determine o polinomion característico da matri% abaixo.
A=(ccc 4 & -5 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio característico da matriz . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade lambda I = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda do mesmo tamanho que A - lambda I = 4 - lambda & -5 & 1 1 & 0 - lambda & 1 0 & 1 & 1 - lambda é:
Então, será:
Subtraindo isso de , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (4 - lambda) cdot det - lambda & 1 1 & 1 - lambda - (-5) cdot det 1 & 1 0 & 1 - lambda + 1 cdot det 1 & -lambda 0 & 1 . Para uma matriz , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores para facilitar.

Passo 4

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. det - lambda & 1 1 & 1 - lambda = (-lambda)(1 - lambda) - (1)(1) = -lambda + lambda^2 - 1
  2. det 1 & 1 0 & 1 - lambda = (1)(1 - lambda) - (1)(0) = 1 - lambda
  3. det 1 & -lambda 0 & 1 = (1)(1) - (-lambda)(0) = 1

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(lambda^2 - lambda - 1) + 5(1 - lambda) + 1

Passo 6

Vamos expandir e simplificar:
(4 - lambda)(lambda^2 - lambda - 1) = 4lambda^2 - 4lambda - 4 - lambda^3 + lambda^2 + lambda = -lambda^3 + 5lambda^2 - 3lambda - 4
5(1 - lambda) = 5 - 5lambda
Somando tudo:
-lambda^3 + 5lambda^2 - 3lambda - 4 + 5 - 5lambda + 1 = -lambda^3 + 5lambda^2 - 8lambda + 2

Resposta

O polinômio característico da matriz p(lambda) = -lambda^3 + 5lambda^2 - 8lambda + 2 é:

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