Determine o polinomion característico da matri% abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio característico da matriz . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é um escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade lambda I = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda do mesmo tamanho que A - lambda I = 4 - lambda & -5 & 1 1 & 0 - lambda & 1 0 & 1 & 1 - lambda é:
Então, será:
Subtraindo isso de , temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (4 - lambda) cdot det - lambda & 1 1 & 1 - lambda - (-5) cdot det 1 & 1 0 & 1 - lambda + 1 cdot det 1 & -lambda 0 & 1 . Para uma matriz , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores para facilitar.
Passo 4
Vamos calcular cada um desses determinantes menores: