Seja
definido por
. Determine a matriz de
(a) em relação à base canônica, (b) em relação à base
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. Precisamos encontrar a matriz que representa essa transformação em duas bases diferentes:
a) Na base canônica.
b) Na base .
a) Na base canônica.
b) Na base
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de matrizes de transformações lineares e mudança de base.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): encontrar a matriz de
na base canônica. A base canônica em
é
, onde
e
.
Para encontrar a matriz, aplicamos
a cada vetor da base canônica e organizamos os resultados como colunas na matriz.
Passo 3
Aplicando
ao primeiro vetor da base canônica:
Aplicando
ao segundo vetor da base canônica:
Passo 4
Agora, formando a matriz com essas imagens como colunas, temos:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): encontrar a matriz de
na base
.
Primeiro, precisamos encontrar as imagens dos vetores da base
sob
.
Passo 6
Aplicando
ao primeiro vetor da base
:
Aplicando
ao segundo vetor da base
:
Passo 7
Agora, precisamos expressar esses resultados como combinações lineares dos vetores da base
. Ou seja, encontrar coeficientes
tais que:
Resolvendo esses sistemas, encontramos os valores de
.
Passo 8
Resolvendo para
:
Multiplicamos a primeira equação por 4:
Subtraímos da segunda equação:
Substituindo em
:
Resolvendo para
:
Multiplicamos a primeira equação por 4:
Subtraímos da segunda equação:
Substituindo em
:
Passo 9
Agora, organizamos os coeficientes encontrados na matriz de
na base
:
Resposta
A matriz da transformação
é:
a) Na base canônica:
a) Na base canônica:
b) Na base
: