Seja F in L(R^2) definido por F(x, y)=(4 x+5,2 x-y). Determine a matriz de F (a) em relação à base canônica, (b) em relação à base B=(1,4),(2,9).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Precisamos encontrar a matriz que representa essa transformação em duas bases diferentes:
a) Na base canônica.
b) Na base .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de matrizes de transformações lineares e mudança de base.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): encontrar a matriz de na base canônica. A base canônica em é , onde e .
Para encontrar a matriz, aplicamos a cada vetor da base canônica e organizamos os resultados como colunas na matriz.

Passo 3

Aplicando F(e1) = F(1, 0) = (4 cdot 1 + 5, 2 cdot 1 - 0) = (9, 2) ao primeiro vetor da base canônica:
F(e2) = F(0, 1) = (4 cdot 0 + 5, 2 cdot 0 - 1) = (5, -1)
Aplicando ao segundo vetor da base canônica:

Passo 4

Agora, formando a matriz com essas imagens como colunas, temos:
[F]canônica = 9 & 5 2 & -1 ô

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a matriz de na base .
Primeiro, precisamos encontrar as imagens dos vetores da base sob .

Passo 6

Aplicando F(1, 4) = (4 cdot 1 + 5, 2 cdot 1 - 4) = (9, -2) ao primeiro vetor da base F(2, 9) = (4 cdot 2 + 5, 2 cdot 2 - 9) = (13, -5) :
Aplicando ao segundo vetor da base :

Passo 7

Agora, precisamos expressar esses resultados como combinações lineares dos vetores da base (9, -2) = a(1, 4) + b(2, 9) . Ou seja, encontrar coeficientes (13, -5) = c(1, 4) + d(2, 9) tais que:
Resolvendo esses sistemas, encontramos os valores de .

Passo 8

Resolvendo para 1a + 2b = 9 4a + 9b = -2 :
4a + 8b = 36
Multiplicamos a primeira equação por 4:
(4a + 9b) - (4a + 8b) = -2 - 36 b = -38
Subtraímos da segunda equação:
a - 76 = 9 a = 85
Substituindo em 1c + 2d = 13 4c + 9d = -5 :
4c + 8d = 52
Resolvendo para (4c + 9d) - (4c + 8d) = -5 - 52 d = -57 :
c - 114 = 13 c = 127
Multiplicamos a primeira equação por 4:
Subtraímos da segunda equação:
Substituindo em :

Passo 9

Agora, organizamos os coeficientes encontrados na matriz de [F]B = 85 & 127 -38 & -57 na base :

Resposta

A matriz da transformação [F]canônica = 9 & 5 2 & -1 é:
a) Na base canônica:
[F]B = 85 & 127 -38 & -57 ô
b) Na base :

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